Minnir að þetta dæmi, eða mjög svipað dæmi hafi verið á úrslitakeppni í stærðfræðikeppni framhaldsskólanna í ár.

Verð að játa að ég var soldið lengi að leysa þessa.

Við sjáum strax að x=y=z=1, gengur ekki upp.
Vitum þar af leiðandi að amk ein tala er >1.

Gr.f. að x>1. Við sjáum þá einnig að y=1, gengur heldur ekki upp. Þ.e. vegna þess að y=1, þá x=1/z og þá fæst

x+1+z > 1/x + 1 + 1/z

x+z > z+ x

Sem er augljóslega bull.

Þá vitum við að enginn af breytunum x,y,z er jöfn 1.


Þá eru bara tveir möguleikar eftir. Annaðhvort er ein tala stærri en 1 eða tvær tölur stærri en 1.
Sýnum nú að aðeins fyrri fullyrðingin gildi.

G.r.f að tvær af tölunum >1. Getum gert ráð fyrir að x,y >1.

Þá fæst

x+y+z > 1/x + 1/y + 1/z = (yz + xz + xy)/(xyz) = yz + xz +xy

Því að xyz=1.

Umritum og fáum

x+y+z - yz - xz -xy >0

y(1-x-z) +x + z -xz >0

y(1-x-z) > xz - x -z

Nú er x>1 og z>0, svo að (1-x-z) < 0, þ.e. mínustala.
Jafnframt vegna þess að y>1, þá er xz=1/y<1. Svo að þá fæst:

y < (xz-x-z)/(1-x-z) < (1-x-z)/(1-x-z) = 1

y<1

En það er klárlega mótsögn við að y>1. Þar með gengur þessi
möguleiki ekki upp, svo að þar með gildir að aðeins ein
af tölunum er stærri en 1, en hinar tvær eru minni en 1.