Hvaða óendanleika getum við ímyndað okkur?

Hvernig getur einn óendanleikinn verið minni en hinn ?

óendanleiki er það sem við sjáum og vitum ekki meira um (td. vitum við ekki hvar geimurinn endar). segjum að þú sjáir 2 línur og þær ná báðar lengra en þú sérð, s.s. óendanlegar fyrir þér, þá segiru ekki að sú hægri sé án efa lengri óendanleiki.

ég segi að allir óendanleikar séu jafnstórir, en þeir geta hinsvegar verið misbreiðir (þannig þeir hafa mismunandi rúmmál kannski.)

rugl.

Ok, hornklofar virka. Hér kemur svarið:

Jákvæðar rauntölur eru jafnmargar og allar rauntölur. Þetta hefur ekkert með
skoðun að gera. Þetta kemur beint frá skilgreiningunni af fjölda:

Við segjum að tvö mengi innihaldi jafnmörg stök ef það er til gagntæk vörpun
á milli þeirra… sem þýðir að það er hægt að para öll stökin saman þannig
að eitt stak í öðru menginu svari alltaf til staks í hinu menginu. Vörpun
er í raun “fall” eða reikniaðgerð. Einfaldasta dæmið er kannski “2x” - vörpun
sem að margfaldar tölu með 2.

Það kemur kannski mest á óvart með strikin (ef þú ert í alvöru að gera ráð fyrir
að þau innihaldi óendanlega marga punkta í samfellu) að þú getur parað alla
punktana á litla strikinu við strik á stóra strikinu, en þú getur LÍKA parað
alla punkta á stóra strikinu við punkta á litla strikinu.

Ég geri að sjálfsögðu ráð fyrir að þú sért að tala um samfellur eins og
búta af rauntöluásnum frekar en alvöru strik á blaði, sem gert er úr endanlega
mörgum atómum.

Það er kannski auðveldast að skilja þetta þannig: Það eru óendanlega margir
punktar í samfellu (eins og rauntalnaás, eða striki á blaði) og það eru
jafnframt óendanlega margir punktar á hverju einasta bili. Ef þú TEYGIR
litla strikið þannig að það verði jafnstórt og það stóra er augljóst hvernig
þú getur varpað öllum punktum á milli þeirra - og þegar þú teygir heldur
strikið áfram að vera jafnþétt.

Stærðfræðilega þýðir þetta að til sé gagntæk vörpun á milli, t.d. mengjanna
[0,1] og [0,2] (mengi allra rauntalna á milli 0 og 1, að báðum meðtöldum
og mengi allra rauntalna á milli 0 og 2, að báðum meðtöldum). Þetta er
vörpunin “2x”. Allar tölur í [0,2] má fá með því að velja einhverja tölu
í [0,1] og margfalda með tveimur og allar tölur í [0,1] má fá með því að
velja tölu í [0,2] og varpa “til baka” með andhverfunni “(1/2)x”.

Það er aðallega erfitt að ímynda sér þetta því að við rekumst aldrei á
óendanlega stóra, eða óendanlega þétta hluti í daglegu lífi. Enda er óendanleiki
bara rökfræðilegt fyrirbæri. Ég hef þá kenningu / skoðun að orðið “óendanleiki”
og “óendanlegt” þýði ekki nokkurn skapaðan hlut ef það er ekki notað í samhengi.
Það þarf alltaf að gera grein fyrir því hvað “óendanlegt” þýðir í hverju
tilfelli fyrir sig - í rauninni er orðið bara samansafn yfir fullt af svipuðum
skilgreiningum. Að heiltölurnar séu óendanlega margar er bara að setja fram
þá reglu að fyrir gefna tölu sé alltaf til tala sem er stærri. Ef þetta væri
ekki svona, þá væri eitthvað alvarlegt að aðferðinni sem við notum til að
telja. Að segja að til sé óendanlega margar tölur á einhverju bili er að
segja að fyrir tvær tölur á bilinu sé alltaf til tala á milli þeirra. Að segja
að eitthvað taki óendanlega langan tíma er (yfirleitt) að segja að það
gerist aldrei, en að því lengur sem tíminn líður, því nær er það að nálgast
þau skilyrði sem við settum (hugsaðu t.d. um það að það tekur óendanlega
langan tíma fyrir hlut að ná alkuli).

Reyndar er það annar handleggur að rauntölurnar séu fleiri en heiltölurnar. Það
hefur ekkert beinlínis að gera með skilning okkar á óendanleika (og það sem
á undan er komið að þessum pósti - sem er víst að nálgast að verða óendanlega
langur). Til dæmis gengur dæmið með strikin alveg upp ef að við notum ræðar
tölur (brot). Ræðu tölurnar ERU teljanlega margar (paranlegar við og þ.afl.
jafnmargar og heilu tölurnar)! Þetta kemur kannski sláandi á óvart, en það er
satt engu að síður. Það er meira að segja til tiltölulega einföld aðferð til að
telja þær (sem ég birti ef einhver hefur áhuga). Og raunin er sú að allar tölur
sem þíð þekkjið eru teljanlega margar. Þær tölur sem sem tilheyra óteljanlega
óendanlega hlutanum af rauntölunum eru tölur sem enginn hefur séð, vegna þess
að það tekur óendanlega langan tíma að skilgreina þær (hugsið aðeins um þetta).

Rauntölurnar eru jafnmargar og öll hlutmengi af heilu tölunum. Það þýðir
að til hverrar heiltölu svarar rauntala, fyrir hvert par (tvennd) af heilum
tölum svarar akkúrat ein rauntala og fyrir hverja þrennd, hverja fernd og
hvaða runu af n heiltölum, sama hversu stórt n er svara ein rauntala.

Sömuleiðis svara ein rauntala til hvers einasta óendanlega mengis af heilum
tölum. Til heiltölumengisins sjálfs svarar ein rauntala. Til sléttu talnanna
svarar akkúrat ein rauntala. Til allra ferningstalna svarar akkúrat ein
rauntala.

Raunar er hægt að para öll þessi mengi gagntækt við hvaða litla bil á
rauntöluásnum sem er. Þannig væri hægt að para öll hlutmengi af heilu tölunum
við bilið [0,1]. Til að geta ímyndað sér þetta betur væri hægt að skilgreina
þessa vörpum frá heiltölumengjunum yfir í tölu sem hefur allar, hverja á eftir
annarri í stærðarröð, sem aukastafi. Þannig myndi heiltölumengið sjálft
varpast yfir í 0.12345678910111213…., ferningstölurnar yfir í
0.149162536496481100121…, o.s.frv. Þessi vörpun virkar reyndar ekki alveg
eins og hún stendur, en það eru til leiðir til að “laga” hana svo hún virki.

Vandamálið sem við stöndum frammi fyrir er hins vegar að það eru til óendanleg
mengi af heilum tölum sem engin regla er til að skilgreina, og sömuleiðis
rauntölur með óendanlega marga aukastafi sem ekki er til nein regla til að
skilgreina. Mig grunar reyndar að um akkúrat þetta atriði séu sumir
stærðfræðingar (og heimspekingar) ósammála. Er eitthvað “til” (í stærðfræði-
legum skilningi) ef við GETUM EKKI skilgreint það. Hér erum við komin með
álitamál sem hægt er að rífast um.

Og það má líka minnast á það að það eru þessar óskilgreinanlegu tölur sem
gera rauntölurnar óteljanlega óendanlegar (fleiri en heilu tölurnar).
Öll þau sett af óræðum tölum sem vi þekkjum er teljanleg eins og ræðu
tölurnar. Sem dæmi má nefna “algebrísku” tölurnar, sem eru lausnir af
öllum margliðum með heiltölustuðlum. Það er ekkert mál að telja margliðurnar,
þar höfum við teljanleika. Sömuleiðis tilheyra bæði pi og e slíkum settum,
nefnilega tölum sem má nálga með algóriþmum sem tekur endanlega mörg skref
að lýsa.

Nóg um það í bili.

Sem smá eftirmála þá ætla ég að svara spurningu:

Nei, það er ekki til neitt óendanlegt sem er tvölfalt stærra en annað
óendanlegt. Ef eitthvað er óendanlegt með fjöldatölu x, þá er 2x = x. Þetta
ætti að skiljast ágætlega miðað það sem á undan er komið, og má raunar fá af
þeim skilgreiningum sem ég setti fram í byrjum (og eru almennt viðurkenndar
auk þess að vera fullkomlega skynsamlegar)

Jú, og aftur jú. Lestu svarið mitt hér að ofan.

Jú jú, taktu tildæmis markgildi og alla þá ellu. Hún er grunnurinn undir calculus sem er svo sú stærðfræði sem er grunnur nútíma vísinda og verkfræði.

Stærðfræði er ekki bara reikningur. Sem betur fer. ;)

ha…?