Þetta er ritgerð í sögu, ekki heimspeki, það útskýrir kannski eitthvað. Hér er samt fjallað um heimspekileg efni, sérstaklega í seinni hlutanum. Þetta er ekki metnaðarfull ritgerð og vönduð, ég setti hana saman í flýti. Ég hefði viljað skrifa eitthvað meira og betra um afleiðingar Ófullkomleikasetningarinnar í lokin, en hún var orðin nógu löng og ég hafði ekki tíma. Af þessum sökum er hún svolítið endaslepp, en vonandi gef ég mér tíma í að fullkomna hana einhvern tíma. Jæja. Njótið.

Æviágrip

Kurt Gödel fæddist 28da apríl árið 1906 í Brünn í Austur-Ungverjalandi (þar sem nú er Brno í Tékklandi). Hann átti einn eldri bróður sem var skírður Rudolf, eftir föður þeirra. Þegar hann var sex ára gamall fékk hann gigtarsótt en náði þó fullum bata og gat lifað eðlilegu lífi. Þessi veikindi höfðu samt ómæld áhrif á hann, því þegar hann var átta ára las hann sér til um sjúkdóminn og komst að því að veikt hjarta væri mögu­legur fylgikvilli gigtarsóttar. (1) Má segja að hann hafi þá fengið snert af ímyndunarveiki, hann hafði stöðugar áhyggjur af heilsunni, þessi veiki fylgdi honum alla ævi og varð honum að lokum að aldurtila.
Hann var mjög forvitinn sem barn og hafði snemma mikinn áhuga á vísindum og stærðfræði. Innan fjölskyldunnar var hann þekktur sem der Herr Warum (Herra Hversvegna).(2) Gödel útskrifaðist með láði úr menntaskóla í Brünn árið 1923, Rudolf bróðir hans segir að þá þegar hafi Gödel vakið undran fyrir ótrúlega snilli sína. Honum gekk sérstaklega vel í stærðfræði og tungumálum, og sú saga gekk manna á milli að Gödel hefði ekki einungis alltaf fengið hæstu mögulegu einkunn í latínu, heldur hefði hann aldrei nokkru sinni gerzt sekur um málfræðivillu.
Þetta sama ár innritaði Gödel sig í Háskólann í Vín. Þó hafði hann enn ekki ákveðið hvort hann vildi læra stærðfræði eða eðlisfræði. Líklegt þykir að stærðfræði­kennarinn Furtwängler hafi haft þau sterku áhrif á hann að hann valdi að lokum rétt, þ.e. stærðfræði. Furtwängler var ekki bara frábær kennari, heldur var hann líka lamaður frá hálsi og niður - þetta hafði mikil áhrif á hinn hjartveika Kurt Gödel.(3)
Gödel hafði á þessum námsárum sínum, þegar hann lærði stærðfræði, einnig umtalsverðan áhuga á heimspeki. Hann las bækur eftir Immanuel Kant (1724-1804) og tók þátt í hinum margfræga Vínarhring, sem var - nokkurn veginn - hópur manna sem aðhylltist rökfræðilega raunhyggju og hittist reglulega til að ræða það sem var efsta á baugi í stærðfræði, rökfræði og heimspeki. Um þetta leyti fékk hann áhuga á talnafræði (e. number theory), en sótti svo námskeið hjá Moritz Schlick (1882-1936) sem fjallaði um bók Bertrands Russell (1872-1970) Inngangur að stærðfræðilegri heimspeki (Introduction to mathematical philosophy) og varð grómtekinn af stærðfræðilegri rökfræði.
Í háskólanáminu var Gödel anzi virkur og gaf m.a.s. út ritgerðir sem hann skrifaði um rökfræði meðan hann var í námi. Hann fór einnig á marga fyrirlestra á þessum tíma og ber þar helzt að nefna fyrirlestur sem David Hilbert (1862-1943) hélt í Bologna um fullkomleika og samkvæmni stærðfræðilegra kerfa. Árið 1929 varði Gödel svo doktorsritgerð við Háskólann í Vín, en hún staðfesti fyrsta stigs umsagnarreikning sem heilt kerfi og gengur undir nafninu fullkomleikasetning Gödels.
Árið 1930 var Gödel veitt doktorsgráða í heimspeki og ári seinna birti hann grein sína Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme.(4) Þessi grein olli straumhvörfum í fræðaheiminum fyrir ótrúlega merkilegar niðurstöður, má með sanni segja að þessi grein hafi haft svipuð áhrif í heimspeki, rökfræði og stærðfræði og skammtakenningin og óvissulögmál Heisenbergs höfðu í eðlisfræði. Setningin sem Gödel setti þarna fram er almennt þekkt sem ófullkomleikasetning Gödels. „[Hún] sannaði […] að ekkert afleiðslukerfi geti rúmað allan stærðfræðilegan sannleika“.(5) Ég mun kafa dýpra ofan í setninguna sjálfa, freista þess að útskýra hana á alþýðlegan hátt, fjalla um þýðingu hennar fyrir stærðfræði og heimspeki og reyna að setja hana í sögulegt samhengi í síðari hluta ritgerðarinnar. Nú sný ég mér aftur að ævi Kurts Gödel.
Á næstu árum fékk hann fasta stöðu innan Háskólans í Vín og hélt marga fyrirlestra. Árið 1933 komst Hitler svo til valda í Þýzkalandi, það hafði lítil áhrif á Gödel. En ári seinna var Moritz Schlick drepinn af nemanda sem aðhylltist kenningar nazista - í kjölfarið fékk Gödel taugáfall. Um þessar mundir fór hann í margar heim­sóknir til Bandaríkjanna til að halda fyrirlestra og þar fram eftir götunum. Hann kynntist m.a. Albert Einstein (1879-1955), en þeir urðu góðir vinir. Gödel giftist 1938 konu sem hann hafði kynnzt í háskólanáminu í Vín, Adele Nimbursky. Eftir innlimun Austurríkis í Þýzkaland Nazista (þ. Anschluss) það sama ár varð Gödel, réttilega, hræddur um að hann yrði neyddur til að ganga í herinn og ákvað að flýja til Banda­ríkjanna með Adele. Þau komu til San Francisco 4ða marz 1940 og höfðu aðsetur við Princeton-háskóla. Við Princeton stundaði hann einna helzt rannsóknir í heimspeki og eðlisfræði; las rit Gottfreids Leibniz (1647-1716), Kants og Edmunds Husserl (1859-1938); en gerði einnig merkilegar tilraunir með almennu afstæðiskenningu Einsteins. En hann hélt samt áfram starfi í sínu í rökfræði, t.a.m. gaf hann út verk sem sýndi fram á samkvæmni bæði valfrumsendunnar og almennu samfléttutilgátunnar árið 1940 sem er sígilt í nútíma stærðfræði.(6) Árið 1948 varð Gödel bandarískur ríkisborgari og fimm árum síðar varð hann prófessor við Princeton.
Gödel fékk þónokkrar viðurkenningar fyrir störf sín, t.d. var hann fyrstur til að fá Einstein verðlaunin. Á efri árum sínum pældi hann mikið í trúarbrögðum, en hann hafði alla tíð verið mjög trúaður maður, og samdi m.a. sína eigin útgáfu af verufræðilegri sönnun Leibniz á tilvist guðs - sem nú er þekkt sem verufræðileg sönnun Gödels. Gödel var enn ákaflega annt um heilsuna í ellinni, honum var svo annt um hana að hann hélt stöðugt að einhver væri að reyna að eitra fyrir honum. Hann brá á það ráð að borða ekki neitt og dró það hann til dauða 14da janúar 1978.(7)
Kurts Gödel verður ávallt minnzt fyrir ófullkomleikasetningu sína, enda er hún stórmerkileg. Hann komst t.d. inn á lista tímaritsins Time yfir 100 merkustu menn 20stu aldarinnar. Við skulum skoða nánar hvað þessi setning felur í sér.


Ófullkomleikasetning Gödels

Í mörg ár höfðu fræðimenn reynt eftir beztu getu að búa til traustan grunn fyrir stærðfræði, setja saman afleiðslukerfi þar sem hægt væri að leiða alla stærðfræði af nokkrum augljósum frumsetningum - smætta stærðfræði í rökfræði. Svona einsog Evklíð (365-275 f.kr.) gerði þegar hann setti rúmfræði sína saman á meistaralegan hátt í Frumþáttunum. Þjóðverji nokkur Gottlob Frege (1884-1925) átti stóran þátt í að koma þessu af stað, rit hans marka upphaf rökgreiningarheimspekinnar. Frege var býsna hæfileikaríkur rökfræðingur og vildi sýna fram á að hægt væri að leiða stærðfræði af lögmálum rökfræðinnar. Hann gaf út rit í tveimur bindum sem átti að sýna fram á þetta, en þegar hann var að leggja lokahönd á seinna bindið (1902) fékk hann bréf frá ungum stærðfræðingi Bertrand Russell. Russell hafði komið auga á banvæna mótsögn í kerfi Freges. Þessi mótsögn er þekkt í dag sem rakaraþverstæðan - þ.e. ef einhver rakar alla nema þá sem raka sig sjálfir, rakar hann þá sjálfan sig? Auðvitað var þetta mikið reiðarslag fyrir Frege, kerfið hans var handónýtt!
Baráttan hélt samt áfram. Frege og Russell unnu saman að nýju og betra kerfi, þar sem þeim tókst að sneiða hjá þverstæðunni. Þetta varð tröllvaxið og viðamikið verk, árin 1910-13 komu svo út þrjú bindi skrifuð af Russell og Alfred North Whitehead (1861-1947) sem þeir kölluðu Principa Mathematica. Þetta verk fór fjarri því að leiða stærðfræði út frá augljósum röksannindum, heldur var þetta óyfirstíganlega flókið mannvirki. Menn eyddu miklum tíma í að reyna að finna mótsagnir eða ósamkvæmni í kerfinu, en lítið gekk.
Fyrrnefnd leið hefur verið kölluð rökfræðihyggja, en fleiri reyndu að renna rökstoðum undir stærðfræðina, annars vegar þeir sem aðhylltust innsæishyggju og hins vegar þeir sem aðhylltust formhyggju.(8)
David Hilbert var gallharður formhyggjumaður, hann „áleit að [hægt væri] að binda stærðfræðina í afleiðslukerfi og sanna að það væri í senn sjálfu sér samkvæmt, fullkomið og ákvarðanlegt.“(9)
Þetta allt útskýrir líklega hvers vegna sumir vissu engan veginn hvaðan á sig stóð veðrið þegar Kurt Gödel birtir grein sína árið 1931. En ófullkomleikasetningin sem hann setti þar fram, fyrstur manna, ógilti allar þessar metnaðarfullu tilraunir á svipstundu. Gödel sannaði í eitt skipti fyrir öll að í formlegum afleiðslukerfum eru alltaf setningar sem hvorki er hægt að sanna né afsanna, svo ekki er hægt að ganga úr skugga um að kerfið sé laust við mótsagnir.
Það segir ýmislegt um þýðingu þessarar sönnunar að þegar stærðfræðingurinn John von Neumann (1903-1957), sem staddur var í Bandaríkjunum þegar greinin birtist, hætti allsnarlega við fyrirlestraröð sem hann ætlaði að halda um tilraunir Hilberts - og ræddi niðurstöður Gödels þess í stað.(10)


Hvað segir setningin?

Ófullkomleikasetning Gödels er í raun lygaraþverstæðan, bara sett inn í stærðfræði. Sagan segir að Krítverjinn Epimenides hafi sagt: „ég er lygari”, eða „allir Krítverjar eru lygarar”. Einnig má orða þetta svona: „þessi setning er lygi” - mótsögnin kemur svo í ljós þegar maður reynir að sjá hvort þessar setningar séu sannar eða ekki.
Kurt Gödel bjó til nýja staðhæfingu, sem má orða einhvern veginn svona: „það er ekki hægt að sanna þessa setningu”.(11) Ég hef lesið þónokkrar útskýringar á setningu Gödels og finnst mér tvímælalaust sú bezt sem Rudy Rucker skrifar í bók sinni Óendanleiki og hugurinn, hér kemur mín þýðing og einföldun á þeirri útlistun:

1.Einhver sýnir Gödel tölvu sem á að geta svarað öllum spurningum rétt.
2.Gödel skoðar reiknilíkön og forrit tölvunnar, sem eru hrikalega flókin og háþróuð kerfi, en þetta kerfi getur ekki verið óendanlegt (það verður að hafa ákveðið margar frumsetningar).
3.Gödel glottir og skrifar eftirfarandi setningu í tölvuna: „Þessi tölva mun aldrei segja að þessi setning sé sönn“. Ef við köllum tölvuna U og setninguna G þá má segja setninguna svona: „U mun aldrei segja að G sé sönn“.
4.Nú hlær Gödel og spyr U hvort G sé sönn.
5.Ef U segir að G sé sönn, þá er „U mun aldrei segja að G sé sönn“ röng. Ef „U mun aldrei segja að G sé sönn“ er röng, þá er G röng (þar sem G = „U mun aldrei segja að G sé sönn“. Þannig að ef U segir að G sé sönn, þá er G í raun röng, og þá hefur U rangt fyrir sér. Svo U mun aldrei segja að G sé sönn, fyrst U svarar öllum spurningum rétt.
6.Við höfum sýnt fram á að U muni aldrei segja að G sé sönn. Svo „U mun aldrei segja að G sé sönn“ er í raun sönn setning - G er sönn setning.
7.„Ég veit sannleika sem U getur aldrei sagt,“ segir Gödel. „Ég veit að G er sönn, U getur ekki svarað öllum spurningum rétt.“(12)

Með þessu, bara í miklu flóknari útgáfu, komst Gödel að því að sönnun er veikara fyrirbæri en sannleikur.(13) En þó svo að Gödel hafi sannað að það væri ekki hægt að sanna sumar fullyrðingar, eru samt til fullyrðingar sem hægt er að sanna. Margir stærð­­fræð­ingar trúðu því að þessar óákvarðanlegu fullyrðingar væru lítilvægar - enda sannaði Gödel bara að þær væru til, en gat ekki bent á neina sem dæmi. Árið 1963 fann ungur stærðfræðingur, Paul Cohen (1934- ), svo upp aðferð til að prófa ákvarðan­­leika spurninga. T.a.m. sýndi hann fram á óákvarðanleika samfellu­tilgátunnar.(14)


Afleiðingar: John R. Lucas & Roger Penrose

Ófullkomleikasetning Gödels hefur breytt viðhorfum margra til heimsins, stærðfræðin er ekki eins fullkomin og áreiðanleg og menn hafa haldið frá því í fornöld. Niður­­stöður Gödels hafa t.d. haft gríðarleg áhrif í heimspeki 20stu aldar, þá sérstaklega í þeirri grein er kallast hugspeki (e. philosophy of mind) og fjallar um t.a.m. eðli hugs­unar og meðvitundar. Ótrúleg grózka er í hugspeki um þessar mundir. Fræðimennirnir John R. Lucas (1929- ) og Roger Penrose (1931- ) hafa reynt um árabil að nota setningu Gödels til að skýra eðli hugsunar og sem rök gegn gervigreind. Lucas setti fyrstur fram þessa hugmynd árið 1961 í grein sinni „Minds, Machines and Gödel”, hann vill meina að fyrst við, mannfólkið, sjáum sannleikann í niðurstöðu Gödels, þá sé eitthvað sérstakt við okkur. Eitthvað sem sýnir, svo ekki verði um villzt, að við erum ekki sambærileg við tölvur. Tölva, sem byggist á reiknilíkani (e. algorithm) sem sannar kennisetningar, getur nefnilega engan veginn séð þann sannleika sem við sjáum - því það er ekki hægt að sanna hann innan reiknilíkansins.
Penrose er sporgöngumaður Lucasar og reynir að sýna fram á það sama með örlítið öðru vísi aðferðum. Í bók hans Nýi hugurinn keisarans: tölvur, hugur og lögmál eðlisfræðinnar sem kom út 1989 færir hann rök fyrir þessari afstöðu.Margir hafa horn í síðu Lucasar og Penrose fyrir þessar kenningar og reyna að hrekja þær við hvert tækifæri. Að mínu áliti tekst þeim það, þó auðvitað sé þetta anzi heillandi hugmynd - þ.e. að setning Gödels sýni fram á sérstöðu mannlegrar hugsunar. Í þessu sambandi ber ef til vill helzt að nefna John R. Searle (1934- ) og Daniel C. Dennett (1942- ), en þeir andmæla báðir þessum kenningum - samt andmæla þeir hvorum öðrum álíka mikið.(15)


Aftanmálsgreinar

(1)The MacTutor History of Mathematics archive. Kurt Gödel.
(2)Singh, Simon 1997:157
(3)The MacTutor History of Mathematics archive. Kurt Gödel.
(4)Wikipedia. Kurt Gödel. (Þessi grein er til í enskri þýðingu á Netinu: <http://home.ddc.net/ygg/etext/godel/godel3.htm>)
(5)A tli Harðarson 2001:154
(6)Gödel, Kurt. 1940. Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory.
(7)Wikipedia. Kurt Gödel.
(8)Atli Harðarson 2001:56-59
(9)Ibid.63
(10)Singh, Simon 1997:157-159
(11)Ibid.160-161
(12)Rucker, Rudy 1995: <http://www.miskatonic.org/godel.html>
(13)Mig langar að benda á frábæra verðlaunabók um þetta efni: Gödel, Eshcer, Bach: an Eternal Golden Braid eftir Douglas Hofstadter (1979).
(14)Singh, Simon 1997:162-163
(15)Dennett, Daniel C. 1995:428-437 & Searle, John R. 1997:55-131


Heimildaskrá

Atli Harðarson. 2001. Af jarðlegum skilningi. Háskólaútgáfan, Reykjavík.

Dennett, Daniel C. 1995. Darwin&#8217;s Dangerous Idea. Evolution and the Meanings of Life. Penguin Books, Englandi.

Rucker, Rudy. 1995. Infinity and the Mind. Princeton University Press, New Jersey.

Searle, John R. 1997. The Mystery of Consciousness. Granta Books, Lundúnum.

Singh, Simon. 1997. Fermat&#8217;s Last Theorem. Fourth Estate, Lundúnum.

The MacTutor History of Mathematics archive. Kurt Gödel.
<http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathe maticians/Godel.html> [sótt 14da apríl 2004]

Wikipedia. The Free Encyclopedia. Kurt Gödel.
<http://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%F6del> [sótt 14da apríl 2004]