Fyrirsögnin á þessari grein er dæmi um þau ritgerðarefni sem boðið var upp í
íslenskuprófi Menntaskólans í Reykjavík 2003. Greinin sjálf er gott dæmi
hvernig snúa má út úr þessum fyrisögnum til þess að geta skrifað um næstum
hvað sem er. Gjörið svo vel, ég vona að þið finnið ykkur tíma á komandi sumars-
sólskinsdögum til að lesa þetta.

Það getur verið erfitt að falla í hópinn - sérstaklega þegar það leiðir til
þversagnar, eins og rökfræðingurinn Bertrand Russell sýndi fram á með afdrifa-
ríkum afleiðingum. Í þessari ritgerð mun ég leitast við að skýra meginatriði
mengjafræðinnar, kynna þekkt vandamál sem hún leiðir af sér og bjóða upp á
lausn á þessu vandamáli.

Mengi eru rökfræðihugtök sem í stuttu máli má kalla “safn hluta”. Hér getur
orðið hlutur vísað til hvers sem vera skal, tölu, hunds, skapgerðar, hugtaks,
og svo framvegis. Aðaltilgangur mengja er líkast til að athuga eiginleika
hluta. Með því að skoða hvaða hluti mengi inniheldur og hvaða sameiginlegu
eiginleika þeir hafa og fjölda þeirra getum við komist að nokkru um eðli
þeirra. Sem dæmi um mengi má nefna talnamengið {1, 2, 3, 4} og mengið
{hestur, svín, köttur}. Einnig er hægt að skilgreina óendanlega stór mengi
eins og “mengi allra sléttra talna”.

Þetta virðist kannski ekki ýkja merkilegt en mengi geta þó oft verið afar
gagnleg til að sýsla með hugtök. Skilgreining mengis leiðir okkur til dæmis
oft að skilgreiningu hugtaksins sem fellur undir það. Þau hafa líka verið
afar gagnleg við að skýra hugtök eins og óendanleikann eins og stærðfræðingurinn
Georg Cantor sýndi fram á snemma á þessari öld. Eitt af viðfangsefnum hans var
að kanna hvort að óendanlega stór mengi gætu verið “misstór” og hvaða merkingu
það hefði fyrir hugtökin sem féllu undir slíka mengi ef svo reyndist vera.
Hann sýndi meðal annars fram á að mengi ræðra talna (“venjuleg” brot á forminu
x/y, þar sem x og y eru heilar tölur) er “jafnstórt” og mengi heilla talna.
Þetta útskýrði hann með því að sýna fram á að báðar gerir af tölum má telja,
þannig að allar séu upptaldar sé talið nógu lengi. Þetta kallast “teljanlegur
óendanleiki” og er töluvert frábrugðinn “óteljanlegum óendanleika”, sem til
dæmis lýsir mengi allra rauntalna.

En mengjafræðin felur í sér alvarlega þversögn, a.m.k. ef við setjum engar tak-
markanir á skilgreiningar mengja. Það er ekki ýkja erfitt að átta sig á
þessari þversögn:

Skilgreinum mengið “mengi allra mengja sem innihalda ekki sjálf sig”. Við
skrifum þá (köllum mengið Z):

Z = {x er mengi | x inniheldur ekki sjálft sig}

þetta er almennur og afar þægilegur ritháttur, notaður til að lýsa mengjum.

Nú er spurningin: Inniheldur Z sjálft sig? Ef Z inniheldur sjálft sig ætti það
ekki að vera í menginu Z og þar af leiðandi EKKI að innihalda sjálft sig. En
ef það inniheldur ekki sjálft sig fellur það undir skilgreininguna “inniheldur
ekki sjálft sig” og ætti því að innihalda sjálft sig. Það getur ekki ákveðið
sig.

Það var heimspekingurinn Bertrand Russell (1872-1970) sem uppgötvaði þessa
skelfingu.

Þrátt fyrir að vera tiltölulega einföld þversögn og augljós komu rökfræðingar
ekki auga á hana strax. Það er líka erfitt að ímynda sér hversu dramatískar
afleiðingar þetta hafði á rökfræðina. Talið er að einn helsti rökfræðingur
allra tíma, Gottlob Frege, sem glímdi við að reisa alla reikningslistina á
grunni rökfræðinnar, hafi gefist upp á því eftir þetta.

Frege gerði tilraun til að skilgreina “töluna”. Flestum virðist það kannski
óþarfi við fyrstu sýn, talan sé hinn auðskiljanlegasti hlutur og þarfnist varla
skilgreiningar, en sé sá hinn sami spurður hvað “tala” nákvæmlega sé vandast
málið. Frege tókst þó með nokkuð skýrum hætti að gera þessu hugtaki góð skil
í bókinni “Undirstöður reikninglistarinnar”. Við munum ekki staldra lengi við
þessar skilgreiningar, nema kannski skilgreiningu hans á núlli:

Fjöldinn 0 er hugtak sem enginn hlutur fellur undir. Enginn hlutur fellur
undir hugtak þegar fjöldinn sem á við það er núll. *

*sjá Gottlob Frege, “Undirstöður reikningslistarinnar”, Hið íslenska bókmennta-
félag 1989, bls. 176.

Nú þurfum við bara að spyrja: “Fellur núll undir sjálft sig?” og þverstæða
Russells birtist í öllu sínu veldi.

Mig langar að skoða þessa þversögn aðeins nánar. Enn fyrst ætla ég að kynna
til sögunnar ákveðið hugtak sem vel á við. Þetta hugtak, eða ferli, kalla ég
“einangrun”, sem er kannski ekki besta nafnið fyrir það, þetta orð er frekar
slöpp þýðing á orðinu “abstraction” á ensku. Lýsingarorðið “abstract” þýðir
“óhlutstætt”, sem gæti skýrt sitthvað. (Ég ætla alla vega að vona að það geri
það, fæstir virðast vita hvað orðið “abstract” þýðir og rugla því oftast saman
við orðið “absurd”.)

“Abstraction” felst í stuttu máli í því að einangra eiginleika hluta frá þeim
sjálfum. Þetta gerir okkur kleyft að tala um eiginleika án tillits til þeirra
hluta sem þeir eiga við. Við getum einnig leyft okkur að tala um óhlutstæða
(abstract) hluti, sem eins konar “hluti án sérkenna”. Þá höfum við í raun
einangrað alla sameiginlega eiginleika ákveðinna hluta og myndað úr því hugtak,
sem fjallar sameiginlega um alla hlutinna. Við getum þannig talað hugtakið
“mótorhjól” og skoðað eiginleika þess án þess að um neitt sérstakt mótorhjól
sé að ræða.

“Tala” er einnig óhlutstætt hugtak. Við getum bent á hvað er sameiginlegt með
þremur ísskápum, þremur nótum og þremur ístegundum. Við getum einangrað töluna
“3” sem sameiginlegt einkenni þessara hluta.

Eins og þið getið rétt ímyndað ykkur býður svona einangrun upp á óteljandi
möguleika í rökhugsun. Þetta er nú bara einn helsti eiginleiki mannlegrar
hugsunar. Það er talið að við höfum ekki almenninlega náð valdi á óhlutstæðri
hugsun fyrr en við erum tólf ára. Ætli það sé ekki um svipað leyti og við
förum að ná tökum á kaldhæðni.

Í vissum skilningi má líta á mengi sem rökfræðilega samsvörun “einangrunar”.
Ef við miðum við að rökfræðin eigi sem best að lýsa rökhugsuninni er þetta að
sjálfsögðu góður hlutur. Mig langar einmitt að ræða þversögn Russells út frá
þessum forsendum, þ.e. að rökfræðin eigi að vera í samræmi við rökhugsunina.
Ég býst við að þannig getum við öðlast sem bestan skilning á því hvaða merkingu
þversögn hefur, eða hvort hún sé í raun (eða ætti í raun að vera) möguleg.

Við viljum að sjálfsögðu vita hvað það þýðir fyrir hugtak “að falla undir sjálft
sig”. Við getum sagt að “hugtak” sé “óhlutstæð samsvörun hlutar eða eiginleika
í huga okkar”. (Þar sem ég er búinn að gera grein fyrir því hvað ég meina með
“óhlutstætt” get ég vonandi sagt þetta án þess að hljóma kjánalega. :-) )
Nú er ég að sjálfsögðu ekkert að kafa neitt dýpra í efnisheim vs. vitund, en
við getum sagt að um leið og við skynjum hlut sem einhvers konar heild getum
við kallað hann hugtak - og jafnvel klínt á það orði til aðgreiningar.

Við verðum að gera vandlegan greinarmun á hugtakinu sjálfu og hlutnum sem það
fellur undir. Þetta er svipað og aðgreiningin á milli “hins almenna” og “hins
sértæka” ef einhverjum finnst notalegra að hugsa það þannig.

Ef við tökum dæmi: “Bolti”. Þetta hugtak felur að sjálfsögðu í sér alla þá
eiginleika sem bolti þarf að hafa til að geta talist bolti, og við getum með
réttu sagt að allir boltar sem við kynnum að rekast á falli undir þetta hugtak.

Og þá getum við að sjálfsögðu talað um mengi allra bolta.

Útúrdúr:
Það er gaman að spá í því hvort við hefðum orð yfir eiginleika sem allir hlutir
hafa. Ef allir hlutir sem okkur dytti á annað borð í hug að hugsa um væru
loðnir, hefðum við einhvern tímann fengið hugmyndina “loðinn”? Líkast til ekki.
En vegna þess að til eru hlutir sem eru ekki loðnir verðum við að nefna þennan
eiginleika til að aðgreina þá hluti sem eru loðnir, og þar höfum við
sameiginlegan eiginleika.
Það er auðvitað ómögulegt að ímynda sér að hversu miklu leyti við notum þennan
eiginleika hugsunarinnar til að aðgreina hluti - en þetta geri ég ráð fyrir að
sé einn af helstu kostum þess að geta hugsað óhlutstætt.

En nú spyr ég: Er það mögulegt að hugtakið sem bolti fellur undir sé sjálft
bolti? Ég held að þið sjáið fáránleikann í þessu. En er þetta ekki nákvæmlega
það sama og þegar við meinum að mengi falli undir sjálft sig? Að mengi geti
sjálft hafi eiginleika þeirra hluta sem falla undir það?

Við verðum að sjálfsögðu að huga vel að því hvað hægt er að gera með mengi - á
sama hátt og við verðum að huga að því hvernig hægt er að sýsla með abstract
hugtök. Ég ætla til dæmis að hafna því algjörlega að mengi geti innihaldið
sjálft sig.

Nú er líka spurning um það að hvaða leyti mengi geti hagað sér eins og stök. En
stök eru hlutir sem mengi inniheldur. Nú má spyrja: Geta mengi innihaldið
önnur mengi, þ.e.a.s. geta mengi sjálf verið stök? Spurningunni verður að svara
játandi, og það er í takt við almenna skynsemi. Við getum hugsað okkur mengi
“mengi allra skriffæra” á tvennan hátt:

1) Mengi sem inniheldur einfaldlega alla þá hluti sem eru skriffæri.
2) Mengið {blýantur, penni, pensill, …}, þar sem stök þess eru sjálf mengi
allra gerða tiltekinna skriffæra.

Fyrra mengið gerir ekki ráð fyrir að hlutirnir sem það inniheldur séu eitthvað
annað en skriffæri, en það seinna inniheldur aðeins mengi þessara hluta, sem
síðan gera ráð fyrir sérkennum þeirra, sem skriffæra. Við getum hugsað okkur
að seinna tilvikið geri ráð fyrir 2 einangrunarstigum (“level of abstraction”),
þar sem allir blýantar eru einangraðir og sameinaðir undir hugtakið “blýantur”,
en “blýantur” síðan einagraður undir hugtakið “skriffæri”, með öðrum slíkum
abstract hugtökum. Við getum líka gert ráð fyrir að öll hugtökin sem mengi
skriffæra innihaldi sé af sama einangrunarstigi.

Í framhaldi af þessu vil ég leggja til að mengi geti aðeins innihaldið mengi
af lægra “stigi”. Ég útskýri þetta stuttlega. Við getum bent á það hversu
fáránlegt það væri að “skriffæri” félli undir “blýantur”. Það myndi gera ráð
fyrir að öll skriffæri væru bara ein gerð af blýöntum og að blýantur væri
hugsanlega eitthvað meira (annað) en skriffæri. Við getum á svipaðan hátt bent
á að það að “blýantur” falli undir “blýant” felur í sér að blýantur sé bara ein
gerð af blýöntum.

Til að gera grein fyrir “stigi” mengis:
mengi sem inniheldur aðeins stök er af fyrsta stigi.
mengi sem inniheldur aðeins mengi sem innihalda stök er af öðru stigi.
mengi sem inniheldur aðeins mengi af öðru stigi er af þriðja stigi

og almennt:
mengi sem inniheldur aðeins mengi af stigi n-1 er af n-ta stigi.

Nú má spyrja: Ætti eitt mengi að geta innihaldið mengi (eða stök) af
mismunandi stigum? Dæmi:

A = {a, b, c, …, {x, y, z, …}}

Spurningin er þó ekki ýkja mikilvæg, því öll slík mengi má rita:

A = {{a, b, c, …}, {x, y, z, …}}

Og við gætum jafnvel gert ráð fyrir að mengi á fyrra forminu eigi sjálfkrafa við
um mengi á seinna forminu. Þetta er að sjálfsögðu hentugt ef við nennum ekki
alltaf að spá í af hvaða “stigi” mengin eru, sem er líka óþarfi. Ég nota
hugtakið aðallega til að benda á fáránleika þess að mengi inniheladi sjálft sig
eða mengi af hærra stigi.

En nú ætlum við að snúa okkur að þverstæðu Russells:

Z = {x er mengi | x inniheldur ekki sjálft sig}

Samkvæmt því sem áður er komið inniheldur ekkert mengi sjálft sig. Ætti þá Z
að vera “mengi allra mengja?”. Þetta leiðir alla vega enn þá til þess að Z
innihaldi sjálft sig. Við getum þá með nokkuð góðri samvisku sagt að mengið Z
sé ekki hugsanlegt vegna þess að það sé fáránlegt fyrir mengi að innihalda
sjálft sig.

Mig langar líka að benda á annað mengi af svipaðri gerð:

Y = {x er mengi | x inniheldur sjálft sig}

Hérna er mengið Y mögulegt, en það er að sjálfsögðu tómamengið. Samkvæmt
skilgreiningu á mengjum eru mengi sem innihalda sömu stök sama mengið. Þess
vegna er í raun bara eitt tómt mengi sem við köllum “tóma mengið” og hér er Y
þetta mengi.

Y er tómt því að mengi getur yfirhöfuð ekki innihaldið sjálft sig og ekkert
mengi fellur því undir það.

Það má því, í vissum skilningi, segja að andhverfa tómamengisins sé óskil-
greinanleg, svipað og margföldunarandhverfa tölunnar núll. Við getum líka sagt
að Z sé mengi “allra mengja”, þegar ekkert mengi getur innihaldið sjálft sig,
og þá að “mengi allra mengja” sé ómögulegt, því það þyrfti að innihalda sjálft
sig.

En það er þó ekkert athugavert við “mengi allra mengja nema sjálfs síns”. Við
gætum litið á stig þess sem óendanlegt og þar með gæti það innihaldið öll önnur
mengi, því öll mengi yrðu þá af lægra stigi.

Við segjum hér skilið við mengin góðu, ég vona að eitthvað vit hafi leynst í því
sem ég skrifaði og að hugtök eins og “stig” mengja hafi skilist og ekki farið í
taugarnar á of mörgum.

En mig (mér) langar þó aðeins að fjalla um hugtakið “sjálfvitnun”, þ.e.a.s.
hugtök sem vitna í sjálf sig. Frægt dæmi er lygaraþverstæðan:

“ég er að ljúga”

Þetta dæmi er alveg rosalega skylt þverstæðu Russells.

Ef við lítum á staðhæfinguna sjáum við að hún felur í sér vísun í sjálfa sig,
nema þá að setningin vísi til einhvers sem nýlega var sagt eða á eftir að segja.
Sjálfsvísun af þessu tæi hef ég útilokað og því gerum við ráð fyrir seinna
tilvikinu. Þar sem viðkomandi sagði ekki neitt nema “ég er að ljúga” getum við
sagt að setningin sé ósönn. Hann var alls ekkert að ljúga. En að gera þá
sjálfkrafa ráð fyrir því að viðkomandi hafi verið að segja satt eru mistök,
hann var einfaldlega ekki að segja neitt. Sá sem segir ekki neitt lýgur hvorki
né segir satt.

Þetta dæmi gefur vonandi góða hugmynd um það sem ég var að tala um. Við skulum
segja þessu lokið að sinni. Nú megið þið gagnrýna mig á allan mögulegan hátt.
Jafnvel greinina sjálfa, þ.e.a.s. hversu vel hún er skrifuð - það hlýtur að
vera hégómi heimspekingsings að vera góður penni. :-)