Rauntölur

Þessa grein skrifaði ég fyrir löngu, en tók hana upp núna, lagaði og blés af henni rykið. Ég verð að viðurkenna að ástæðan fyrir því að ég sendi hana inn núna er sú að mér finnst margir heimspekilega sinnaðir einstaklingar fara full frjálslega og ógreinilega í umfjöllunum sínum um stærðfræði á heimspekivefnum.

Ég ætla aðeins að tala um rauntölurnar og kanski seinna fjöldatölur óendanlegra mengja en niðurstöður stærðfræðinnar um fjöldatölur eru svolítið undarlegar.
Framsetning mín á efninu er fyrir áhugafólk, svo ef einhver hefur eitthvað út á efnið að setja (sem má fastlega búast við á heimspekivef (vel meint)) ætti ég að geta gefið skýrari svör. Framsetning mín hér fullnægir engan vegin kröfum stærðfræðinga um nákvæmni og rökstuðning.

Rauntölurnar má segja að sé hjarta og lungu ,,leikvallar” margra stærðfræðinga, nefninlega rauntalnasviðsins ( sem er hugtak sem ég fer ekki út í hér að neinu ráði (sniðugt að minnast á það þá (duh))) <- ath svigafjöldi er réttur (haha).

Ef við hugsum okkur óendanlega langa línu ( fyrir þá sem kunna á hnitakerfi er línan sem ég tala um (a.m.k útlitslega) eins og x eða y – ásinn ) sem við merkjum inn á 0 og 1 (einn hægra megin (þó við gætum alveg látið línuna stefna hvert sem er ) (fyrirgefið alla svigana) (í alvöru mér þykir þetta leiðinlegt), getur hún hjálpað okkur að setja fram eiginleika nokkura mengja og um leið skapað ákveðið innsæi hjá hverjum og einum á mengjunum sem ég tala bráðlega um.

Ég reyni að fara hratt yfir sögu í þessum klassísku mengjum:
Náttúrulega mengið er mengi ALLRA jákvæðra heilla talna, þ.e. 1, 2, 3, ……. þar sem 0 er ýmist tekið með eða ekki (persónubundið). Á ásnum okkar myndu stök náttúrlega mengisins raðast hægra megin við 0 á hann þannig að jafn langt sé á milli tveggja aðliggjandi talna.

Mengi heilla talna er mengi allra heilla talna, þ.e. …… -2, -1, 0, 1, 2,……. neikvæðu stökin koma þá vinstra megin við 0 á myndina okkar.
Mengi ræðra talna er best lýst svona: { r/q : r,q eru heilar tölur, q ekki núll } þ.e. öll brot, t.d. ½, ¾, og svo framvegis.
Á milli 0 og 1 á línunni okkar eru óendanlega margar ræðar tölur t.d. ½,1/3,1/4, 1/5….. og svo fram vegis. Allar þessar tölur eru stærri en 0 en minni en 1 (skoðaðu það!). Þessar tölur eru samt fjarri því allar ræðar tölur á milli 0 og 1. Til dæmis eru 2/3,3/4,4/5,5/6….. þar líka og engin af þessum er sama tala og einhver að ofan (afhverju?). Getur þú fundið aðra svona talnarunu sem ekki eru nefndar og eru milli 0 og 1? (afsakið kennsluformið á þessu, en vonandi hafiði gaman af að spá í þessu).

Þessar TALNARUNUR sem ég nefndi hér að ofan eru venjulega kallaðar runur í stærðfræði, en stökin í einni talnarunu geta verið endanlega mörg ( 1,6,8) en eru oftast óendanlega mörg (t.d. ein af þessum að ofan).
Oft má tákna runu með einföldum rithætti í stað þessa að telja allar tölurnar upp eða að telja nógu margar upp til að lesanda verði ljóst hvernig næstu tölur eru.
Dæmi: Runan sem ég nefndi að ofan: ½, 1/3, ¼, 1/5,…. má tákna svona: (1/n).
Hvernig má tákna þá sem ég minntist næst á?

Raðir. Röð er summa runu (talnarunu). Ég nefni hér eina sem er auðvelt að finna summu á, út frá mynd, en mörgum þykir undarlegt að leggja saman óendanlega margar tölur (allar stærri en núll) án þess að fá mjög stóra eða óendanlega stóra útkomu.
Dæmi: Við leggjum saman stökin í rununni ½, ¼, 1/8, 1/16 ……… En til að sjá rúmfræðilega að summa þessara (óendanlega mörgu) talna er 1 getum við skoðað ásinn okkar og lagt saman á honum: Fyrsta talan er hálfur svo við merkjum hálfan inn á ásinn okkar, svo bætum við við ¼, höfum þá alls ¾, því næst bætum við 1/8: ¾ + 1/8 = 6/8+1/8 = 7/8.
Við sjáum að með þessu móti leggjum við alltaf við þá summu S sem við erum komin með í hverju skrefi helminginn af því sem við eigum eftir upp í 1, þ.e. (1-S)/2 og þegar liðirnir verða óendanlega margir er summan klárlega 1.(summan er gefin í hverju skrefi með 1-1/(2í nta-veldi), þar sem n táknar hve margar tölur við höfum lagt saman)

Mengi rauntalna verður ekki smíðað með einföldu móti, enda var það ekki gert með óyggjandi hætti fyrr en á 19. öld og þá af tveimur í einu á mismunandi hátt (en þetta gerist á undarlegan hátt oft). Menn höfðu áður sagt hvaða eiginleika þessar tölur áttu að hafa, til dæmis þann eiginleika að tölurnar lægju þétt á ásnum okkar, þ.e. ef við höggvum á ásinn okkar með óendanlega beittri sveðju, þá lendum við á rauntölu. Til sérhvers punkts sem við getum ímyndað okkur á ásnum tilheyrir ein rauntala. (þetta var þó aldrei orðað nákvæmlega svona, enda er þetta mjög ónákvæm lýsing, nákvæmari lýsing á ekki heima hér)

Óræðar tölur eru þær tölur sem eru í mengi rauntalna en ekki í mengi ræðra talna.
Fyrsta slíka talan var rótin af 2. Þ.e. talan sem hafin í annað veldi, er tveir. Sönnun á því að rótin af 2 sé óræð má t.d. finna hér: http://public.csusm.edu/public/FranzL/GEM/irra2.pdf

Reyndar eru ræturnar af 3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,……….. óræðar.
Setning: Ef x er óræð tala(til dæmis rótin af tveimur), en q ræð tala (til dæmis hálfur), ekki núll. Þá er q*x óræð tala.
Sönnun: Notum óbeina sönnun: Gerum ráð fyrir að q*x sé ræð tala p. Það er q*x = p. En þá fæst að p/q = x. p/q er augljóslega ræð tala, en x óræð. x getur ekki verið hvorutveggja samkvæmt skilgreiningu á óræðum tölum en þessvegna er q*x óræð.
Ég minntist á að hugsanlega skrifa ég eitthvað um fjöldatölur. Þar kemur í ljós að óræðu tölurnar eru fleiri en þær ræðu.

Það er mjög eðlileg krafa að láta rauntölurnar sitja svona þétt á ásnum, því til dæmis væri ekki hægt að tákna ummál eða flatarmál hrings ef óræðar tölur væru ekki skilgreindar.
Hvernig skrifar maður óræða tölu? Svarið við þessari spurningu er að það er ekki hægt. Við sjáum að ef við hefðum tölu sem við gætum skrifað með endanlega mörgum tölustöfum að þá getum við skrifað hana sem brot, þ.e. sem ræða tölu:

Dæmi: Sýnum að 56,789654 er ekki óræð tala. Teljum hve margir tölustafir eru fyrir aftan kommu, þeir eru 6 talsins. Ef við margföldum nú töluna með 1 = 1000000/1000000 (ath 6 núll), þá sjáum við að töluna getum við einnig táknað sem 56789654/1000000, tökum nú eftir að fyrir ofan strik og neðan eru heilar tölur, svo samkvæmt skilgreiningu okkar á ræðum tölum, er þessi tala ræð og því ekki óræð.

Þessi aðferð sýnir okkur að ef tala er skrifuð með endanlega mörgum tölum, þá er hún ekki óræð. Svo allar óræðar tölur hafa óendanlega marga tölustafi.

Enginn kann allar tölurnar í pí, því þær eru óendanlega margar. Við getum reiknað út eins marga tölustafi í pí og við viljum, en við munum aldrei finna þá alla: Ef öflugasta tölva í heimi tekur eina nanó sekúndu ( 10-9 sekúndur) að finna einn aukastaf í pí, þá tekur það hana óendanlega langan tíma að finna þá alla. Allir tölustafir einhverrar óræðrar tölu verða aldrei fundnir.

Við getum líka sagt um óræðar tölur að þegar við skrifum þær niður tölu eftir tölu að þá endurtekur talan sig ekki aftur og aftur.
Dæmi: Sýnum að talan a = 12,456 456 456 456 456…………. sé ekki óræð tala (hér táknar …….. að talan heldur áfram endalaust með þessu augljósa mynstri sem sést í tölunni). Við teljum hve margir tölustafir koma fyrir áður en þeir koma fyrir aftur í endurtekningu: Í þessu tilviki 3 ( 4, 5 og 6 og svo byrjar aftur 4, 5 og 6). Aðferðin sem við beitum nú er að margfalda töluna með 1000 (þrjú núll) en þá eru 1000*a = 12456,456 456 456 …….. Nú kemur ,,trikkið”: við drögum frá tölunni 1000*a töluna a og fáum 1000* a – a = 999*a = 12456,456 456 ….. – 12,456 456 ……. = 12444 (athugið þetta skref) en með því að deila með 999 báðum megin fæst núna að a = 12444/999 (deilið bara með vasareikni, þið fáið sama svar (nema auðvitað birtir vasareiknir endanlega marga tölustafi).

Hugsanlega meira seinna!