Ég hef verið að lesa Grundvöll reiknislistarinnar eftir Fredge á undanförnum dögum. Eins og gefur að skilja hefur sá lesur verið uppspretta endalausra vangaveltna og pælinga í mínu undarlegu höfði þótt ég efist um að eitthvað af því geti talist áhugavert efni í grein.
Engu að síðu verð ég bara að fá að tjá mig þessar hugrenningar mínar og þar helst hvernig í ósköpunum maður skilgreinir tölu. Og þá meina ég skrifaðar tölur, þið vitið; þessar venjulegu, sem síðan allar “ónáttúrulegar” tölur eru búnar til úr. 1, 2, 3, 4, …, n-1, n, þar sem n er hæðsta tala sem er til eða ekki til. Mér finnst (og er ekki einn um það) að lykillinn hljóti augljóslega að liggja í fyrstu tölunni, einn, og allar aðrar tölur séu grundvallaðar af henni. Tveir sé þá 1 og 1, en þrír hins vegar 1 og 2, sem af fyrstu skilgreiningunni má álykta að samsvari 1 og 1 og 1. Þannig megi álykta að allar tölur fái gildi sitt og séu skilgreindar út frá stöðu sinni gagnhvart einum.
Og um leið og talnakerfið er útvíkkað út fyrir þessa hugsun þá haldi skilgreining samt áfram að virka, þar sem að hún er almenn og hægt að taka hið útvíkkaða talnakerfi og samsvara hinu upprunalega. Þannig að í negatívaum tölum eða brotum sé hægt að miða gildi hverra tölu við samanburðinn við 1, og 1 sé nauðsynlegur hverju kerfi. Þannig sé einfaldasta stærðfræði sú að geta skilgreint 1, síðan er öll önnur stærðfræði leitt út frá því, fyrst fyrstu níu tölurnar (eða hvaða grunntölur sem eru) og síðan núllið og þar á eftir er hægt að útvíkka talnakerfið upp í óendalegt með því að sameina fyribærið grunntala við fyrirbærið núll og fá tugakerfið (eða hvaða talnakerfi sem er). Þegar óendaleikinn sé kominn er þar eftir hægt að leiða út bæði bort, þar sem hver grunntala er óendalega lítið brot af óendaleikanum og því hægt að gera hverja tölu (eða einfaldlega töluna einn eins og oftast er gert) að óendaleika og síðan byrjað að miða takmarkaðar tölur við það. Þar á eftir er mögulegt að staðsetja núll hvar sem er í talnakerfinu og finna síðan upp hina ímynduðu neikvæðu tölur, sem eru nákvæmlega sömu tölurnar og þær jákvæðu, nema þær eru undir núlli, ósýnilegar og haga sér eftir því.
Þarna er maður kominn með rauntalnaásinn. Og allt út frá skilgreiningunni á einn. En þar kemur babb í bátinn. Hver er skilgreiningin á einn? Grundvöllur allrar talnafræði hlýtur að vera háð þessari skilgreiningu, skilgreiningu sem ætti að samsvara hinni almennu skilgreiningu á tölu. Sem er alls ekki svo augljós. Er talan 1 (meða ákveðnum greinir) huglæg eða hlutlæg? Raunhæf eða rökhæf? Eða hvað?
Væri það gróft af mér að segja töluna vera huglæga? Vera hugmynd? Af hverju ekki… Eina vandamálið er að skilgreiningarnar á bakvið hugtökin huglægni og hugmyndir eru næstum því jafn óljósar á bkavið töluna 1. Svo maður verður að drífa sig í hvelli í því að skilgreina það til þaula áður en að maður getur einu sinni leyft sér að grundvalla reiknislistina (segið svo að stærðfræðin sé ekki háð heimspekinni). Ég myndi segja að huglæg fyrirbæri séu fyrirbæri sem byggjast á hugmyndum, en hugmynd hins vegar séu hins vegar samheiti yfir öll safnorð sem búa til almenna skilgreiningar yfir hlutlæg fyrirbrigði í veruleikanum. Eins og að hugmyndin koddi sé safnorð búið til af huganum til þess að vera almenn skilgreining á öllum þeim skynjunum sem taka til mjúkra hluta sem maður notar til þess að halla höfðinu á þegar maður fer að sofa. Þannig er hugmyndin byggð á veruleikanum. Þrátt fyrir það eru hún samt óháð honum þar sem hún er hugarsmíð. Hugmynd er því í sjálfu sér ekki hlutlæg heldur huglæg og þess vegna ætti að vera hægt að toga hana til og frá svo hún verði algerlega veruleikafirrt, en hún er samt alltaf byggð úr veruleikanum. Eins og ævintýrafyrirbrigðið Pegasus, vængjaður hestur, óraunveruleg hugmynd en búin til úr hlutlægum fyrirbrigðum sem eru fuglsvængir og hestur (fyrirbrigðið sem óhjákvæmilega hljóta að verða hugmyndir við það breytast í texta í þessari grein).
1 er hugmynd. Hún þarf ekki að tákna eitthvað raunverulegt, hún þarf ekki einu sinni að tákna neitt annað en sjálfan sig, en allir eiginleikar hennar og skilgreining hlýtur að vera tekin frá þeim hlutlægu pörtum sem hugmyndin er upprunalega búin til úr. Hugmyndin 1 er safnorð yfir alla þá hluti sem litið er á sem heild (óháð því hvort þeir eru það til frambúðar eða aðeins í stuttan tíma, eða hvort að heildin fari eftir sjónarhorni). Ein kommóða er heild þeirra hluta sem gera kommóðuna að kommóðu . Ef við breytum um sjónarhorn gætum við líka litið á hverja skúffu fyrir sig sem heild, en þá um leið hættir kommóðan að teljast sem ein heild. Þegar þú ert komin með einhverja heild, hugurinn búin að skilgreina eitthvað fyrirbæri sem heild, þá getur síðan farið að miða alla aðrar hluti við heildina. Það eru sjö skúffur í kommóðunni. Ef þú skilgreinir skúffuna sem heild þá er kommóðan skilgreind sem sjö. Takið eftir að ég tala alltaf um kommóðuna sem heild þar til ég fer að miðan við aðra skilgreinda heild, skúffuna, þá verður hún að sjö. 1= 7. Fer bara allt eftir því hvernig maður skilgreinir heildina. Ef miðum svo heild kommóðunar við heild skúffunar þá fær maður brot. 1 skúffa er 1/7 af kommóðunni, þar sem hún er ein af sjö skúffum sem gera kommóðuna að heild. ÞAð þyrfti sjö skúffur til að fá heildina, en við fáum bara eina og þess vegna hún bara brot af heildinni, 1 af 7, þar sem 6 af sjö vantar enn.
Ok. Sjáið þetta fyrir ykkur? Talnakerfi þar sem allt er miðað við hversu mörgum sinnum einn talan er eða hversu mikið vantar upp á einn, þar sem einn stendur síðan fyrir hugmyndina heild?
Þá er bara einn galli á gjöf njarðar. Fyrir hvað stendur hugmyndin heild. Fyrir hvaða hlutlægu fyrirbæri sækir er hugmyndin heild safnorð fyrir. Heild getur verið svo margt. Heild getur verið allt frá húsi og til fólks, frá litum og til hljóða. Einhver eiginleiki er samt sameiginlegur öllum þessum fyribærum þar sem við höfum greinilega búið til orð til að lýsa því.
Léttast væri að tala um heildina sem samansafn fyrirbæra sem saman verða að einingu, að einum. En þá er ég kominn í hring. Hábölvað.
Önnur tilraun:
Gerum ráð fyrir að allir hlutir og öll fyrirbæri séu settir saman úr minni hlutum eða fyrirbærum.
Það mark sem maður í hvert skipti lætur á milli fyrirbæra til þess að greina þau í sundur skilgreinir þau fyrirbæri sem maður kýs ekki að greina í sundur sem heild, þar sem fyrirbærin sem fyrirbærið er sett saman úr eru óaðgreint, og heildin, safn þessar óaðgreindu fyrirbæra, er því eining. q.e.d.