VeryMuch fyrir 21 árum, 3 mánuðum Fjöldi lestra: 2147

Um Sönnun.

Í ljósi þess að ég við erum farin að sjá æ fleiri greinar tengdar stærðfræði, eða rökfræði, þá datt mér í hug að e-r gæti haft áhuga á að fræðast frekar um sannanir.

Ég læt hér fylgja nokkra kafla úr rökfræðikveri nokkru, (sem ég mæli með til fyrstu kynningar á rökfræði), nánar tiltekið: RÖKFRÆÐI Leiðarvísir um frumatriði rökfræðinnar; e. Guðmund Arnlaugsson; bls 40-46.

Áherslan, í þessari bók, er á rökfræði sem notuð er í stærðfræði.

Varðandi særðfræðiáhuga hér á huga, og skrif þar að lútandi, þykir mér fara best á því að birta þau helst hér, innan veggja heimspeki áhugamálsins. Þar sem stærðfræði flokkast til hugvísinda, en ekki til raunvísinda, þó annað geti virst í fyrstu.

Ég afsaka mögulegar villur af minni hendi, í textanum. En ég bendi einnig á að ég þurfti að aðlaga sumt, ss tákn sem ég kann ekki að setja hingað inn, þá sérstaklega kvantara (skammtara), nánar tiltekið kvantarann “stórt ”A“ á hvolfi”, sem táknar í raun “fyrir öll … gildir að”; einnig eru veldi alltaf til vandræða. Einnig prufaði ég að nota html-kóða, þe bold og italic. Ég vona að það skili sér.

Ég vil kvetja þá til dáða, sem hafa hingað til riðið á vaðið í þessum efnisflokki, sem og sporgöngumenn.

Jæja hér er textinn:

————————————————— —————-

15. SÖNNUN

Hugtakið sönnun eigum við Forn-Grikkjum að þakka. Eldri menningarþjóðir, einkum Egyptar og Babýloníumenn, höfðu safnað mikilli stærðfræðiþekkingu snemma á öldum, en þar örlar hvergi á sönnun. Í ritum frá þessum þjóðum sést hvergi rökstuðningur, reglur eru settar fram umbúðalaust og engin grein gerð fyrir hvernig þær eru til komnar. Þar virðist stærðfræðin aðeins hafa verið stoðgrein við verklegar athafnir. En Grikkir leituðu eilífra sanninda, fyrir þeim voru hugmyndirnar að baki veruleikanum jafnvel raunverulegri en hann sjálfur. Þeir settu stærðfræðina því hátt, við hlið heimspekinnar eða sem eina grein hennar. Fyrir þeim var rökleiðslan einhver æðsta íþrótt mannshugans.

Allar sannanir í stærðfræði eru gerðar samkvæmt reglum rökfræðinnar. Ítrustu kröfum rökfræðinnar um sundurgreiningu og vísun til frumreglna á hverju þrepi rökleiðslunnar er að vísu fullnægt. Sannanir verða langar og þreytandi þegar hvert smáatriði rökleiðslunnar er tínt fram, venjulega er leiðin stytt með því að slá þrepum saman, stundum mörgum í senn, enda kemur það sjaldan að sök, flestum er sú rökvísi í blóð borin að þeir “lesa í málið” nærri ósjálfrátt.

En stundum er nákvæm sundurgreining nytsamleg til þess að gera sér ljósara en áður eðli rökleiðslunnar. Þótt þú hafi [sic] ekki lesið annað um rökfræði en þetta litla kver, er þér (vonandi) síður en áður hætt við að falla í sumar gjótur rökfræðinnar, eins og til að mynda þá að gera ekki greinarmun á leiðingu og umhverfu hennar. Þú gerir þér (vonandi) ljóst að hér er um tvennt að ræða og annað getur verið rétt þótt hitt sé rangt. Sundurgreiningin getur líka verið nauðsynleg ef kryfja þarf til mergjar rökfærslur sem í fljótu bragði sýnast réttar, en virðast þó vafasamar í raun.

Í næstu köflum verður nánar vikið að nokkrum helstu gerðum sannana í stærðfræði.

Flestum setningum stærðfræðinnar er unnt að koma á formið p => q , eða með öðrum orðum: ef fullyrðingin p er sönn, þá er fullyrðingin q líka sönn.

Í grófum dráttum má skipta sönnunum í fjóra flokka:

1) Bein sönnun: Gert er ráð fyrir að p sé sönn og sú ályktun dregin með beinni rökleiðslu, að þá sé q einnig sönn.

2) Óbein sönnun: Gert er ráð fyrir að p sé sönn. Síðan er gert ráð fyrir að q sé ósönn. Leiði það til mótsagnar, hlýtur q að vera sönn.

3) Andumhverfan sönnuð með beinni sönnun: Gert er ráð fyrir að q sé ekki sönn (ekki q) og bein rökleiðsla notuð til að sanna, að þá sé p heldur ekki sönn (ekki p). Með öðrum orðum “ekki”q => “ekki”p , en það jafngildir p => q , eins og fyrr hefur verið rakið.

4) Þrepasönnun. Henni verður lýst hér nokkru síðar.

16. BEIN SÖNNUN

Stærðfræðileg sönnun er rökfræðileg athöfn. Oft er sú regla er sanna skal leidd út frá öðrum reglum eða staðreyndum sem áður eru kunnar eða sannaðar og er þá kallað að sönnunin sé bein. Við þá útleiðslu er reglum rökfræðinnar fylgt stranglega. Sannanir eru misflóknar, stundum þarf að stíga mörg rökfræðileg skref til að komast á leiðarenda, stundum ekki nema fá. Í 14. kafla voru sýnd nokkur dæmi um fullyrðingar sem virtust einfaldar, en reyndist afar erfitt eða alveg ókleyft að sanna, og eitt dæmi um reglu sem auðvelt var að sanna beinni sönnun, regluna um að sérhverja prímtölu sé unnt að skrifa sem mismun tveggja ferninga og það aðeins á einn veg.

Stundum er hægt að sanna eitthvað, sem virðist verulega flókið, á einfaldari hátt en menn hafði órað fyrir og verður sönnunin þá minnisstæð - og falleg að dómi stærðfræðinga. Dæmi um þetta er sönnun þess að til séu óendanlega margar prímtölur. Hún birtist fyrst í Frumþáttum Evklíðs (um 300 f.Kr.), enda oft við hann kennd. Evklíð var grískur stærðfræðingur, er ritaði einhverja kunnustu stærðfræðibók allra alda, á latínu heitir hún Elementa, á íslensku hefur hún verið kölluð Frumþættir eða Undirstöður. Hér verður þessi sönnun nú rakin, án þess að vísað sé til rökfræðinnar við hvert spor.

Prímtala er, eins og áður segir, náttúruleg tala sem engin náttúruleg tala gengur upp í nema 1 einn og talan sjálf. Aðrar tölur eru kallaðar samsettar. Menn hafa komið sér saman um að telja 1 ekki til prímtalna, talan 1 hefur sérstöðu, hún er hvorki prímtala né samsett. Talan 2 hefur einning nokkra sérstöðu: hún er eina slétta prímtalan.

Prímtölurnar skipa sér afar óreglulega í röð heilu talnanna, en þær verða þó strjálli eftir því sem aftar dregur. Á bilinu frá 1 til 10 eru fjórar prímtölur: 2, 3, 5 og 7; á bilinu frá 91 til 100 sem er jafn langt er aðeins ein: 97. Með því að fara nógu langt aftur í talnaröðina er hægt að finna eins löng bil og vera skal: milljón tölur, milljón milljón tölur o.s.frv., þar sem ekki kemur fyrir ein einasta prímtala. Um prímtölurnar kemur því tvennt til greina: Annaðhvort kemur að því að lokum (þegar komið er óskaplega langt aftur í talnaröðina), að þar fyrir aftan sé engin prímtala (þaðan í frá séu allar tölur samsettar) - eða að prímtölur haldi áfram að koma fyrir, hversu langt sem farið er aftur í röðina, þær verði aðeins sjaldgæfari. Í fyrra tilvikinu væru prímtölurnar að vísu óskaplega margar, en fjöldi þeirra þó endanleg tala. Í síðara tilvikinu væru þær óendanlega margar. Ekki virðist hlaupið að því að skera úr um hvort sé réttara, en það gerir Evklíð á snjallan og einfaldan hátt.

Evklíð ályktar á þessa leið: Ef ég get sýnt fram á, að hversu stóran endanlegan hóp af prímtölum sem menn hugsa sér, þá sé ávallt til að minnsta kosti ein prímtala sem ekki er í hópnum, hljóta prímtölurnar að vera óendanlega margar.

Nú hugsa ég mér allar prímtölur frá 2 upp í einhverja (stóra) prímtölu p. Ég bý mér til nýja tölu q með því að margfalda allar þessar tölur og bæta einum við:

q = 2 * 3 * 5 * … * p + 1

Hver talnanna 2, 3, 5, 7, … p sem er gengur upp í margfeldinu, og því verður afgangurinn 1 þegar þeim er deilt í q. Með öðrum orðum: Engin talnanna 2 eða 3 eða 5 … eða p gengur því upp í q. Nú er q annaðhvort prímtala eða samsett. Ef hún er samsett eru í henni einhverjir prímþættir, en það geta ekki verið neinar af tölunum 2, 3, 5, … p, því að engin þeirra gengur upp í q.

Hvort sem q er prímtala eða samsett, hefur því verið sýnt fram á að til er að minnsta kosti ein prímtala utan hópsins 2, 3, 5, … p (og hún er stærri en p). Þetta gildir, hversu stór sem p er valin: Fjöldi prímtalna hlýtur því að vera óendanlegur.

17. ÓBEIN SÖNNUN

Annað form sönnunar er svonefnd óbein sönnun. Í grófum dráttum má lýsa þeirri aðferð á þessa leið:

Setningin sem ég ætla að sanna hlýtur að vera annaðhvort sönn eða ósönn. Ég hugsa mér í bili að hún sé ósönn og reyni að draga af því ályktanir. Setjum svo að þessar ályktanir leiði til mótsagnar - eitthvað komi fram sem fær ekki staðist. Þá er ekki nema um tvennt að ræða: Annaðhvort hefur mér orðið á í rökleiðslunni eða forsendan er ósönn. Sé hægt að treysta því að rökleiðslan sé rétt, hlýtur forsendan að vera ósönn. Nú var forsendan sú, að setningin sem sanna átti sé ósönn. Sé það rangt, hlýtur setningin að vera sönn. Þar með er sönnuninni lokið.

Tökum eina setningu úr rúmfræði sem dæmi um sönnun af þessu tagi:

R: Tvær beinar línur geta ekki skorist nema í einum punkti.

Til þess geta sannað þessa setningu þurfum við að þekkja hugtökin lína og punktur og eina frumreglu um samband þeirra, við skulum kalla hana P.

P: Gegnum tvo punkta er hægt að draga eina og aðeins eina beina línu.

Hugsum okkur nú að setning R sé ósönn. Þá eru til tvær beinar línur, sem skerast í að minnsta kosti tveimur punktum. Köllum línurnar l og m, skurðpunktana A og B. Þá blasir við augum, að þetta brýtur í bága við regluna P. Gegnum punktana A og B liggja tvær beinar línur l og m. Þarna er mótsögnin komin: við göngum út frá reglunni P og fáum niðurstöðu, sem brýtur í bága við hana. Sú tilgáta, að R sé ósönn, leiðir til mótsagnar, R hlýtur því að vera sönn.

[...(Hér koma æfingar sem ég sleppi.)...]

Frægt dæmi um óbeina sönnun í stærðfræði er sönnun þess að til séu óræðar tölur. Þessi sönnun er að minnsta kosti tuttugu alda gömul og er oft kennd við Evklíð. Evklíð sýndi fram á, að sé dreginn ferningur, þannig að hliðar hans séu ein lengdareining hver, þá er lengd hornlínunnar í þessum ferningi ekki ræð tala. Sé lengd hornalínunnar kölluð x, leiðir af reglu Pýþagórasar að x^2 = 1^2 + 1^2 = 2 . Það sem Evklíð sannar, er því að engin ræð tala hafi þann eiginleika að verða að 2, þegar hún er hafin í annað veldi.

Við skulum nú virða þessa sönnun fyrir okkur og nefna þá forsendur hennar fyrst:

1) Ræðar tölur eru þær tölur, sem í daglegu tali eru kallaðar heilar tölur og brot, m.ö.o. mengi allra talna af gerðinni m/n, þar sem m og n eru heilar tölur og n er ekki núll.

2) Sérhvert brot er hægt að fullstytta: Stytta það þangað til enginn þáttur er sameiginlegur í teljara og nefnara. 24/54 má stytta í 4/9 og er það þá fullstytt, brotið pm/pn (p “ekki jafnt og” 0) má stytta í m/n.

Í fullstyttu broti geta teljari og nefnari ekki báðir verið sléttar tölur, því að þá væri hægt að stytta með 2.

3) Brot er hvafið í annað veldi með því að hefja teljara og nefnara hvorn um sig í annað veldi: (m/n)^2 = m^2 / n^2 .

Og nú er komið að sönnuninni sjálfri.

Reglan hljóðar svo: Engin ræð tala verður að 2, þegar hún er hafin í annað veldi.

1° Fullyrðingunni er neitað: Til er ræð tala m/n, þannig að (m/n)^2 = 2.

2° Jafnan (m/n)^2 = 2 jafngildir m^2 = 2n^2.

3° 2n^2 ber það með sér að hún er slétt tala, m^2 er sama talan, m^2 er því slétt tala.

4° m^2 getur því aðeins verið slétt tala, að m sjálf sé slétt tala. En sé m slétt tala, má rita hana svo: m = 2p, þar sem p er heil tala.

5° Þetta er sett inn í síðari jöfnuna í 2°: (2p)^2 = 2n^2, 4p^2 = 2n^2.

6° Úr 5° fæst n^2 = 2p^2, en það sýnir að n^2 og þar með n eru sléttar tölur (sbr. 3° og 4°).

7° Nú er mótsögnin komin fram: Gert var ráð fyrir því, að brotið m/n væri fullstytt, en við höfum rakið okkur fram til þess, að bæði m og n séu sléttar tölur. Af þessari mótsögn leiðir, að hafna verður þeirri forsendu, að til sé brot, sem hafið í annað veldi verði 2.

18. ANDUMHVERFA SÖNNUÐ Í STAÐ LEIÐINGAR

Í 9. kafla (bls. 22) var sannað að andumhverfa leiðingar er jafngild leiðingunni sjálfri. Eigi að sanna leiðingu er því hægt að sanna andumhverfu hennar í staðinn. Þetta getur stundum verið hagkvæmt.

Eins og lesendur muna er andumhverfa mynduð úr leiðingu með því að setja neitun yrðingar í stað hennar og skipta jafnframt um forlið og leiðilið.

Hér verður sýnt lítið dæmi um notkun þessarar aðferðar.

Sanna skal, að gangi 3 ekki upp í náttúrulegri tölu, gerir 6 það heldur ekki.

Á táknmáli er þessi yrðing rituð þannig [(Sum táknin hef ég orðað, þar sem þau eru ekki möguleg á þessum vef.)]:

Fyrir öll x gildir að það er stak í mengi náttúrulegra talna: (3 ganga ekki upp í x) => (6 ganga ekki upp í x)

Sönnun:

Yrðingum er neitað og skipt um forlið og leiðilið. Þá kemur fram andhverfan:

Fyrir öll x gildir að það er stak í mengi náttúrulegra talna: (6 ganga upp í x) => (3 ganga upp í x)

Þessa yrðingu er auðvelt að sanna. Ef 6 ganga upp í x er hægt að rita x sem margfeldi af 6: x = 6p. Þetta má rita svo: x = 3(2p), sem sýnir að x er margfeldi af 3, eins og sanna átti.

19. ÞREPASÖNNUN

Í dæmi 90 á bls. 35 átti að afsanna þá fullyrðingu, að

N = n^2 + n + 41

sé prímtala, hvaða heil tala sem n er.

Ef n = 0 er N = 41; ef n = 1 er N = 43; ef n = 2 er N = 47; ef n = 3 er N = 53. Öll þessi gildi á N eru prímtölur og reglan heldur áfram að gefa tómar prímtölur allt upp að n = 40. En þar bregst hún:

N = 40^2 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 41^2

sem er ekki prímtala.

Þetta dæmi sýnir, að þótt einhver regla gildi í fjölda tilvika er engan veginn víst að hún gildi ávallt. Manni finnst að vísu þeim mun líklegra að hún gildi alltaf, sem maður finnur fleiri tilvik þar sem hún gildir, en vissu hefur maður ekki fyrr en sönnun er fundin.

Til er fjórða tegund sönnunar sem oft er hægt að beita þar sem fjallað er um náttúrulegar tölur, þótt þær séu óendanlega margar. Sú sönnun er kölluð sönnun með þrepun eða þrepasönnun. Hugmyndin í þrepasönnun er eitthvað á þessa leið:

Sanna skal að einhver regla gildi um öll x, þar sem x er náttúruleg tala. Þá er fyrst athugað hvort hún gildi þegar x = 1. Sé það rétt, er athugað hvort reglan gildi um x = n + 1 að því tilskildu að hún gildi um x = n. Sé það líka rétt gildir reglan um allar jákvæðar heilar tölur. Þarna eru náttúrlegu [sic] tölurnar hugsaðar sem þrep í stiga, 1 er neðsta þrepið, 2 er annað þrep o.s.frv. Fyrst er athugað (a) hvort reglan gildir á neðsta þrepi, síðan er sannað (b) að reglan gildi á einu þrepi, þá gildir hún á næsta þrepi fyrir ofan. Með (a) kemst maður inn á neðsta þrep, með (b) kemst maður þaðan á annað þrep, og síðan á það þriðja og þannig áfram koll af kolli án enda.

Þetta virðist flestum sjálfsagt augljóst, á svipaðan hátt og Evklíð mun hafa talið frumsendur sínar augljós sannindi. En í raun er hér um að ræða frumsendu sem gengi er út frá. Hana setti ítalskur stærðfræðingur, G. Peano (1858-1936), fram fyrstur manna:

Ef M er eitthvert mengi náttúrulegra talan [sic] og um M gildir:

1) 1 er stak í M

2) n er stak í M => (n + 1) er stak í M

Þá er M mengi allra náttúrulegra talna.

Lítum á eitt dæmi um sönnun með þrepun.

Sanna skal að 3 gangi ávallt upp í (x^3 + 11x), þar sem x er náttúruleg tala.

Á táknmáli lítur reglan þannig út [(Sum táknin hef ég orðað, þar sem þau eru ekki möguleg á þessum vef.)]:

Fyrir öll x gildir að það er stak í mengi náttúrulegra talna: 3 ganga upp í (x^3 + 11x)

Sönnun:

(a) Reglan gildir um x = 1, því að (1^3 + 11 * 1) = 12 = 3 * 4

(b) Ég hugsa mér að reglan gildi um x = n: að til sé heil tala p
þannig að n^3 + 11n = 3p. Síðan athuga ég x = n + 1:
((n + 1)^3 + 11(n + 1)) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 11n + 11 =
(n^3 + 11n) + (3n^2 + 3n + 12) =
3p + 3(n^2 + n + 4) =
3(p + n^2 + n + 4) sem er greinilega margfeldi af 3.

Þar með er sýnt að reglan gildir um x = n + 1 ef hún gildir um x = n og samkvæmt því sem áður var sagt gildir hún þá um öll heil og jákvæð gildi á x."

————————————————— —————-

Kv.
VeryMuch

geirag fyrir 21 árum, 2 mánuðum

VeryMuch:

Eg thakka ljomandi goda grein sem tok bædi tima og orku og gerdi vel. Hins vegar verd eg adeins ad malda i moinn thegar thu flokkar stærdfrædi sem hugvisindi einn tveir og thrir. “Hrein” stærdfrædi er hugvisindi en hun er ad vissu leyti takmørkud og nær engan veginn yfir øll svid stærdfrædinnar - ekki einu sinni øll frædi hennar!

En aftur: Takk fyrir goda grein.

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Geirag:

Takk fyrir. En þú ættir nú bara að þakka honum Guðmundi Arnlaugssyni, þar sem ég pikkaði þetta aðeins inn. ;)

Varðandi hvort særðfræði er hug- eða raun-vísindi, er það nú almennt viðurkennd “sannindi” að stærðfræði sé hugvísindi.

En burt séð frá því hvað fólk heldur fram, get ég rökstutt þetta álit með því að hinar hagnýtu greinar byggja á hinni “hreinu” stærðfræði, og eru þal henni fullkomlega háðar, og myndu ekki vera án hennar, þal er hún frumforsenda hinnar hagnýttu stærðfræði, og er sá kjarni sem hún reisir byggingu sína á. Með þeim rökum kalla ég stærðfræði hugvísindi. En það þýðir að sjálfsögðu ekki að það sé hægt að vera ósammála þessu; þó tel ég fleiri rök séu fyrir máli mínu, en máli mögulegra andmælenda. ;)

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

geirag fyrir 21 árum, 2 mánuðum

VeryMuch:

Audvitad er “hrein” stærdfrædi undirstadan og audvitad er hun hugvisindi, en stærdfrædi sjalf er ekki øll hrein hugvisindi. Verkfrædingar sveigja til dæmis stærdfrædi stundum til svo raunveruleikinn “passi” betur vid frædin, en an thess tho ad grafa undan røkfrædilegu gildi stærdfrædinnar. En audvitad er thad kannski ekki eitthvad sem stærdfrædingar eru hrifnir af og vilja kalla ymsum slæmum nøfnum.

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Geirag:

Stærðfræðin er auðvitað bara það sem hún er. Það gildir einu hvað við álítum hana vera. ;)

Ég er bara ekki sammála þér.

Þó að verkfræðingar noti stærðfræði til að reiknaburðarþol bygginga, geri líkön af umferðardreifingu stórborga, eða algríma í róbóta; breytir það ekki eðli stærðfræðinnar sjálfrar. Þetta er augljóst mál.

Það sem er etv að angra þig, er gamalkunn klisja um eðli hugvísinda, og loðeðli þeirra miðaðvið td eðlisfræði. En þessi tilfinning, því það er það sem þetta er, breytir ekki raunveruleikanum.

Ef ég grauta upp e-ð kerfi sem lítur lögmálum rökfræðinnar, telst það ekki raunvísindi. Hið sama gildir um stærðfræðina. Þó vissulega sé eðli hennar umdeild. Það er td algeng skoðun að rúmfræði sé byggð á reynslusannindum, en önnur stærðfræði ekki. Ég er raunar á því að öll stærðfræði hlóti upphaflega að byggjast á reynslusannindum. Með þessum rökum má kannski segja að ég sé nær þér í skoðunum, þar sem það felur í sér eilítinn empirisma.

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

ThomYorke fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Samkvæmt skilgreiningu er öll stærðfræði hugvísindi en hún er notuð sem hjálpargagn í alls konar raunvísindagreinum.

Fyrra álit

midgardur fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Er eitthvert gagn að sönnunum?

Eins og sýnt hefur verið fram á í annarri grein þá er niðurstaða sönnunar háð forsendunum. Þannig geta tvær beinar línur skorist óendanlega séu þær dregna á ská niður keiluflöt (nenni ekki að sanna þrepinn, vísa bara í sjónrænan skilning okkar).

Snýst málið ekki bara um að draga réttar ályktanir af gefnum forsendum. Forsendurnar eru að þessu leiti viðkvæmari en sjálf sönnunin því hver er “sönnunin” forsenda?

M.

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Miðgarður:

Mín sýn á fyrir bæri sem stærðfræði, þe fyrirbæri sem eru byggð upp á svipaðan röklegan hátt, sem takmarkast líklega við afleiðslu-byggð rökkerfi. Er sú að þau hagi sér, eða “líti út” eins og einskonar kristallar. Þannig að ef þú rifjar upp jarðfræðina þá mannstu etv eftir því hvernig brothorn og bygging kristalla, hinna mismunandi steinda, ráðast af frumeindum sem myndar steindina, og hvernig þær raða sér upp innbyrðis.

Hvað á ég við með þeirri líkingu, sem kann að hljóma farstæðukennt?

Jú, eins og kristallar byggjast upp af lögmálum náttúrunnar, byggast áðurnefnd rökkerfi upp af lögmálum.

Ef við líkjum svo frumeindum og stöðu þeirra við frumfosendur rökkerfis, er samlíkingin farin að tóna hreint. Þeas samræmið ætti að vera þér ljóst, ef þú hugleiðir þetta.

Þannig að kraftaverkið við rökkerfi, er að sjá hvernig kristallinn lítur út eftir að frumeindir hans hafa verið skilgreindar. Mismunandi rökkerfi eru ólík, en þó virðist sem ákveðin lögmál séu þó notuð í þeim flestum, svo sem að annað hvort er fullyrðing sönn eða ósönn ekki bæði, og þess háttar lögmál; þó að það meigi vissulega hanna önnur kerfi sem ekki nýta þessi lögmál og eða dæmi þau óheimil.

En þetta er ekki búið enn.

Hvers vegna sannanir?

Kannski er rökrétt að spyrja fyrst: Hvers vegna rökkerfi?

Jú, þessir “þekkingar-kristallar” virka sem einskonar fast viðmið á breitilegan raunveruleikann, svipað og við getum dregið ályktanir, og breytt skv þessum ályktunum, og vonandi náð árangri. Hvernig?

Þessir þekkingar-kristallar virka sem einskonar “rúður” eða mælikvarði á mælitæki, við setjum upp gleraugu, eða sjóngler þessara kerfa, og horfum á breytilegan raunveruleikann í gegn um þau. Með þessi viðmið að vopni getum við tekið eftir því að breytingar sem virðast vera óreglulegar í reynsluheimi okkar eru það ekki alltaf, þeas við sjáum að ákveðin ferli endurtaka sig og haga sér á ákveðinn hátt, fylgja ákveðnu mynstri, þeas ferlin fylgja ákveðnum línum á þessu sjóngleri okkar.

Það sem við erum í raun að gera þegar við mælum heiminn, er það að við erum að bera hann upp að þessum glerjum okkar, við erum að bera hann upp við viðmið okkar, þekkingar-kristalla, eins og td stærðfræðiþekkingu okkar. Eðlisfræði er klárt dæmi um þetta. Við innlimum svo mynstrin sem við finnum í þekkingu okkar, og viti menn, þekkingin er auðvitað mynstur á sama hátt og mann gerðu rökkerfin. Mynstrin eru ss sett í kristal stærðfræðinnar, og þessi samsetning er innan þekkingarkristals eðlisfræðinnar, sem er ekkert annað en fræðigrein sem gengurút á að innlima mynstur raunheimsins inn í stærðfræðilegan þekkingarkristal sinn, sem er þó aðskilinn.

Eðlisfræðikristallin er því gerður úr stærðfræðilegu “efni” þe hefur sömu byggingu, frumeindir hans eru þær sömu, brothorn og gerð kristalsins er hliðstæð við stærðfræðina, þar sem eðlisfræðin beitir henni til að skrá mynstur heimsins.

Hvers vegna sannanir?

Jú sá kristall sem um ræðir, hvort sem það er stærðfræði eða ekki, þarf að vera sjálfum sér samkvæmur, til að vera nothæfur. Sannanir eru því aðferðir til að sýna fram á að sannindin sem sanna á, lúti byggingu og gerð heildarinnar sem sanna á sannindin í. Sannanir eru því nauðsynlegar til að halda byggingu þessara kristalla hreinum, þannig að þeir beri ekki í sér skekkju. Sannanir auka líka við þekkingu okkar á þessum kristöllum, þar sem þeir eru auðvitað eins víðáttu miklir og allar sannanir sem mögulegar eru í þeim, hvort sem þær eru þekktar. Rökkerfi vaxa því eins og frostrósir. Fallegt ekki satt. :)

Vaxa en brjóta aldrei sitt innra lögmál, sem er skilgreint í upphafi. Rökkfræði, er því einskonar rannsókn á kristöllum og hvernig þeir munu líta út miðað við frumeindagerð sína og innri lögmál, þeas miðað við frumforsendur sínar.

En punkturinn við þessi kerfi er að þau eru mynstur, eru regluleg, eru viðmið sem við getum notað til að skilja heiminn með. Auk þess má leiða líkum að því að innri gerð hela okkar sé þegar vel er að gáð, samskonar bygging, sem gerir okkur kleyft að sjá mynstur í reynslu heimi okkar, sem hefur þróast með náttúruvali, darwiískt ss en ekki með formlegum sönnunum. Ss það sem virkar, er dæmt satt með reynslu, ss erfðum og þh.

Sannanir snúast því að því að byggja okkur einskonar sjóngler, sem við notum í “smásjár”,“stjörnukíki” eða “gleraugu” til daglegra nota. Með frumforsendum og reglum kerfisins erum við að byggja kristalla, til að sjá heiminn í nýju, og vonandi skýrara ljósi.

En já þetta er vissulega manngerðir kristallar. En þó er e-ð við stærðfræði sem fær mann til að detta í huga að þarna sé e-m meira, þannig að hugur okkar og þekkingar viðleitni hljóti að finna upp þennan kristal, þar sem við erum gerð af þessu heimi, og við þurfum ákveðin lögmál nauðsynlega til að skilja vissa hluti, þannig er sræðrfræði hugsanlega nauðslynlega svona, bara í þessum heimi eða mögulega öllum heimum hugsanlegum, en látum þetta kyrrt liggja í bili.

Vonandi hef ég ekki steikt þig endanlega, en ég hef vonandi opnað augu þín að e-u leiti, hvað varðar sannanir og mikilvægi þeirra, og tengslum þeirra við frumforsendur. En ég er eiginlega að flýta mér þannig að þetta er óttarlega hroðvirknislegt hjá mér. Vonandi fyrirgefur þú mér það. ;)

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

midgardur fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Úps… nú varð minn þungi rass einhversstaðar á eftir, veit ekki alveg hvort ég fylgi þér á þessu flugi :)

Nú er vandamál mitt í sjálfu sér ekki sönnunin sjálf, hún er “straight forward” vandamálið eru forsendur ályktunar. Sönnun er ætlað að leiða okkur að sannleika. Henni er ætlað að leiða okkur að réttri niðurstöðu útfrá gefnum forsendum. Hún hefur eitthvað fyrir satt.

Það sem ég er að fara fram á er að forsendan sé sönnuð. Þetta er raun vísindamannsins en plagar kannski heimspekingin eins mikið. Dæmi:

(1) Allir menn eru dauðlegir
(2) Sókrates er maður
ergo: Sókrates er dauðlegur.

Hvernig sönnum við forsendu (1) að allir menn séu dauðlegir? Hvernig sönnum við síðan að (2) að Sókrates sé maður? Einn helsti vísindaheimspekingur 20. aldar Karl Popper glímdi við þessa þraut en fann enga sérstaka lausn aðra en þá að reyna að meta sannleiksgildi forsendunnar út frá líkum (minnir að Erlendur hafi þýtt það sem sannlíki forsendu), þ.e. eingöngu er hægt að leiða líkum að forsendunni með aðleiðslu (nú eða skilgreiningu eins og í stærðfræði) en ekki afleiðslu.

Afhverju er ég að kíta þetta? Jú það virðast vera alvarlegir ágallar á rökkerfum okkar sem byggja á sönnunum þannig að við getum ekki verið viss um að draga sannar ályktanir um veruleikann útfrá þeim þó svo að við uppfyllum öll formleg skilyrði.

M.

Fyrra álit

thortho fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Já, það er galli kerfanna, að þau eru “content-neutral”? Innihaldið skiptir engu, bara á meðan að formið er rétt. Formlega séð getur maður sannað að tunglið sé úr osti, að Jörðin sé flöt, og svo framvegis og framvegis. Það er væntanlega vísindanna að sýna fram á, hvað sé til og hvernig það sé, og þar með hvernig eigi að nota það í röksemdafærslum.

All we need is just a little patience.

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Miðgarður:

Ekki nema von að þetta hafi hljómað furðulega hjá mér, ég leyfði þessu bara að flæða án endurskoðunar, slíkt hefur kosti, og galla. ;)

Já, það er undarlegt að frumforsendur eru teknar inn sem “sannar” eða bara sem frumforsendur. Það hljómar mjög líklega að það sé ekki hægt að rökstyðja frumforsendur nema með aðleiðslu, nema að þær séu output frá öðru rökkerfi, sem væntanlega hefur þá aðrar frumforsendur, ss vandamálið er flutt til.

Þó eru til rökkerfi á frumforsendna, en þau hafa auðvitað reglur, einskonar reglur um hvernig er löglegt að “tala” án þess að leggja til orð, og þó efniviðurinn eru venjulega fullyrðingar eða e-r ónefndar ósértækar forsendur.

Niðurstaðan verður alltaf einskonar mynstur, og mynstrið er það sem “rúlar”, ef þú fattar.

En þetta er hárrétt hjá þér Miðgarður, þessar frumforsendur eru ekki “sannaðar”. Ég skrifaði grein hér fyrir löngu sem hét að mig minnir “Lífið er lygi!” og fjallaði um að sannleikurinn er ekki til, ekki eins hreinn og ég get ímyndað mér að hugtakið “sanneikur” bendi til.

Ég lít nefnilega svo á, að sannleikur þurfi að vera sannaður, til að meiga kallast sannleikur. Sem leiðir til “sannleikskreppu”, þeas leiðir til þess að sannleikur er aðeins til innan rökkerfa sem byggjast á frumforsendum og reglum kerfanna sem inni halda “sannleikann”.

Eftir stendur að ekkert er sannleikur. En þó má passa sig að draga ekki of gýfurlegar ályktanir af þessu. Etv höfum við aðeins litið á sannleikan of saklausum augum, verið barnaleg í e-m skilningi.

Við allar efasemdir okkar notum við e-ð sem mætti kalla hugarstarfsemi, og allt er hægt að rekja að einni uppsprettu, nefnilega meðvitundar okkar sjálfra. Það þýðir ekki að ekki sé heimilt að efast um þessa hluti, en það þýðir hinsvegar að efinn er háður þessum hlutum. Þeas um einskonar lokaðan hring er að ræða. Þegar maður er kominn svo nærri kjarna okkar sjálfra, verða hugsanirnar oft þráhyggjukenndar, maður fer að elta eigin meðvitund og aðferðir manns til þess að elta þessa meðvitund. Maður fer að elta skottið á sjálfum sér. Við erum ss komin að mörkum mögulegrar þekkingar. Ég tel nefnilega að það sé hægt að líta á meðvitund okkar og hugarstarfsemi sem einskonar rökkerfi, en það getur ekki greint sínar eigin frumforsendur, þeas ef við erum einskonar rökkerfi, mynstur teiknað í efni heimsins, spor í sandinum, getum við ekki fengist við frumforsendur okkar sjálfra, líkt og rökkerfi geta ekki sannað frumforsendur þeirra sjálfra. Þannig er ákveðinn grundvöllur fyrir tilveru okkar. Það þykir mér mikil huggun, og það var farmiði minn frá nihilismanum sem hafði hrjáð mig lengi.

Endimörk þekkingarinnar, forsendur meðvitundar og hugsunar, eins og þessir hlutir birtast okkur; eru því grundvöllur og frumforsendur tilveru okkar. Við getum ekki fengist við þessa hluti, (ég útiloka samt ekkert), og þar af leiðandi neyðumst við til að notast við þessar forsendur til alls þess sem hugur okkar dregur um ályktanir. En hvílíkur léttir það er að vita af þessum hlutum sem vissulega við getum ekki fengist við, hversu mótsagnakennt það kann að hljóma, því með þessu er grundvöllur fundinn. Grundvöllur heimspeki, og allrar þekkingar, grundvöllur þess að vera til sem meðituð og hugsandi vera.

Af þessu leiðir að við verðum að sætta okkur við ófullkomna tilveru okkar, og að við erum að upplagi einangruð frá stórum hluta heimsins, þeas ályktana sem mögulega væri hægt að draga ef hægt væri að komast dýpra í frumforsendum tilverunnar en meðvitund og hugsun okkar leyfir.

Sannleikur er því bara einskonar orð fyrir e-ð fast, eða ævarandi, e-ð sem breytist ekki í heimi breytinga. Grundvöllur þekkingarinnar, eins og ég kýs að nefna meðvitundina og hugsunina, er í þessum skilningi sannleikurinn sem við neyðumst til að nota, eða beita. En eftir stendur að sannleikur í sinni gömlu barnalegu mynd, er dauður!

En eftir stendur grundvöllurinn sem ég er að nefna, og mynstrin í heiminum, sem verða aðeins könnuð með háttbundnum kerfum, þe rökkerfum.

Þessi kerfi byggja á meðitund okkar og hugarstarfi, og skerpa sýn þeirra á raunveruna. Þetta samspil gerir okkur kleyft að uppgvötva mynstur raunverunnar.

Pælingar mínar í dag, snúast um mynstur. Regluna, endurtekninguna, taktinn, tímann, hið fasta, eða það sem breytist á fastan hátt. Ss einfaldlega mynstur. Þekking er mynstur! Sannleikurinn eins og við höfum ímyndað okkur hann, er dauður!

Þar með svara ég þér játandi, þegar þú segir sannleikan ekki vera fólgin í kerfum sem byggja á frumforsendum, en ég bendi þér svo á þá það sem ég hef uppgvötvað. Þá heimsmynd sem er í mótun í hugarfylgsnum mínum.

En ég er enn bara andlegt afstyrmi, ófullnægður, óþroskaður, óútsprunginn, enn með andlegar unglingabólur, sannleiksbrunnur minn er enn súr á bragðið.

Jæja nóg af röfli. (Sem kann að hljóma sem rugl, en það eru þó þeir sem þekkja æðasláttinn í máli mínu af eiginraun, og þeir skilja hátt minn.)

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

midgardur fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Very:

Ef ég skil þig rétt þá ert þú að fara fram á að við umbreytum veruleikann á mál rökkerfa (stærðfræði). Ef ég skil þetta áfram rétt þá er þetta í raun aðferð vísindanna. Með þessu móti uppgötvum við munstur sem annars væru hulin.

Einhverju sinni var ég að glíma við þróun gildismats í samfélagi. Hvernig gildismatið getur breyst frá einum tímapunkti til annars. Einhvers staðar í þeim heilabrotum stóð ég allt í einu frami fyrir tölu sem virtist hafa tvö talnagildi. Þetta gerist t.d. þegar afstaða til einhvers er að umhverfast úr karlegu gildi, yfir í kynhlutlaust og þaðan yfir í kvenlegt gildi. Á einhverjum tímapunkti er afstaða okkar karleg að einhverju leiti og kvenleg að öðru leiti.

Heimspekikerfi Hegels um tesur, andtesu og samtesur lýsir þessu ágætlega og Karl Marx tekur upp í sinni þjóðfélagsfræði. Það sem ég var hins vegar með í hausnum var stærðfræðileg ásýnd heimspekikerfis Hegel með einhverju undarlegu talnamengi sem tók amk tvö talnagildi. Talan var í raun punktur á plani. Þannig var hægt að skilgreina t.d. x-ásinn sem karlegan en y-ásinn sem kvennlegan. Fullkomlega karleg afstaða til málsins má því túlka sem (1,0) en fullkomlega kvenleg afstaða til málsins væri þá að sama skapi (0,1). Breytileg afstaða einstaklings til málsins kæmi þá fram sem ferill á plani. Vegna lögmálsins um miðsækni normaldreifingar hafa hópar fólks tilhneigingu til að hnappast um sama hnitið. Grafískt erum við þarna komin með einhvers konar gildalandslag þar sem bjöllulaga hólar færast til á planinu, klofna, renna saman eða standa óbifanlegir í mannsaldra.

Það var síðan nokkru seinna að góður vinur minn, verkfræðingur, benti mér á að þetta talnamengi sem ég var að leika mér má skilgreina sem tvinntölur.

Þetta hefur auðvitað ekkert með sannleikan að gera, heldur eins og VeryMuch er að benda á, ef ég skil hann rétt, með munstur. Með því að hanna félagsleg mælitæki sem mælir félagslegt gildismat með tvinntölukvörðum getum við hugsanlega skoða þróun sögunnar út frá heimspekikerfi Hegels á stærðfræðilegan hátt.

Kannski er ég kominn langt út fyrir efnið, er bara að reyna að setja abstrakt hugsun VeryMuch í áþreifanlegra samhengi. Passar þetta við það sem þú ert að spá í Very?

M.

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Miðgarður:

Jú mér sýnist þú vera að skilja mig. :)

Ég vil þó skipta út “aðferð vísindanna” fyrir “tól vísindanna”, en það er túlkunaratriði, þal ekkert óumflýjanlega réttara en að tala um aðferð vísindanna.

Ég lít bara á þær formegustu aðferðir, sem vísindin beita, sem tæki þeirra, en ályktanir sem eru utan “kassans”, þe td ályktanir um hvaða aðferðum eigi að beita hvar og eða hvenær, frekar í skilningnum “aðferðir vísindanna”.

En með þeim rökum sem ég hef áður notað, í tali mínu um mynstur, mætti kalla alla hugsun, sem notar rök (hvernig svo sem hún gengur fyrir sig formlega), formlega hugsun þe viðmið/mynstur þó við gerum okkur etv ekki grein fyrir því.

En já þú skilur mig rétt, og þarft ekkert að taka þetta, sem ég er að tala um hér núna, til greina.

Mikilvægast til að skilja í því sem ég er að segja, er að átta sig á mikilvægi hugmyndar minnar um mynstur.

Auk þess að skilja víðtæka túlkun mína á hugtakinu mynstur. Þe allt sem lítur reglum, lögmálum, takti, hið fasta í breytingum heimsins.. það lít ég á sem mynstur.

Aðferðirnar sem við notum til að greina mynstur, ganga í raun út á að búa til manngerð mynstur, til að hafa viðmið til að greina náttúruleg mynstur heimsins.

Spurning: Hvaðan koma mynstur?

Þegar við vitum að e-ð er mynstur, hvernig vitum við það?

Ég álykta að mynstrin þurfi að koma einhverstaðar frá, til þess að við getum greint þau. Þá á ég við að við þurfum að hafa þau í okkur, að einhverju leiti, til þess að geta greint þau utan við okkur í náttúrunni, þe við þurfum einskonar mynstur sem við notum svo sem einskonar lykla, til að greina önnur og ný mynstur.

Ath. Hliðstæður við þróun taugakerfis okkar, og nýja þekkingu okkar á mynstrum. Muna, ég lít á hugtakið mynstur, mjög víðum skilningi, eins og ég hef áður sagt.

Þannig lít ég svo á okkur, að við erum undarlegt tilvik af efni, sem hefur hlotið þetta undarlega mynstur, og það greinir svo mynstur í umhverfi sínu. Þó botna ég ekkert í því hvernig meðvitundin kom til, ekki nema hún sé allstaðar, nái bara ekki “krítískum massa” nema í þeim mynstrum sem við skilgreinum “lifandi”.

Athugið ekkert er eins og það sýnist!! Það verður að bjóta allt niður og byggja upp, til að sjá heiminn á nýjan hátt. Þannig kann þetta að hljóma óskiljanlega og mjög framandi, en þetta er ekki út í hött, jafnvel þó það virðist vera það, við fyrstu sýn. ;)

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

midgardur fyrir 21 árum, 2 mánuðum

very:

Þú ályktar að mynstrin koma einhvers staðar frá. Vandinn hér er að munstur virðist koma frá rökkerfinu sem túlkar það. Dæmi getur verið að að þegar tilviljunarkenndar tölur eru plottaðar út á tölvuskjá í gegnum einhverja fomúlu þá plottast út munstur sem eru breytileg eftir því hver formúlan er.

Þar sem vísindin og heimspekinn nota stærðfræði og önnur rökkerfi óspart til að lýsa heiminum með, má þá ekki allt eins segja að við séum í hálfgerðu tautologísku umhverfi, þ.e. heimurinn er óreiða en hann virðist hafa einhverja reglu vegna þess að við skoðum hann í gegnum reglukerfi? Munstrin sem þú vísar til eru því ekkert nema munstur sem rökkerfin búa til (geta verið skilningarvit okkar eða “artificial” (vantar hér íslenskt orð)) og við förum að trúa að séu munstur í náttúrunni sem er í raun óreiða.

M.

Fyrra álit

Popcorn fyrir 21 árum, 2 mánuðum

midgardur

Mynstur fela yfirleitt í sér upplýsingar. Ef þær eru rétt túlkaðar geta
mynstrin í raun sagt okkur eitthvað. En þá þarf að skilja kerfið rétt.

Ef hægt er að fá mismunandi mynstur í mismunandi kerfum verður þess vegna að
passa að séu þessi mynstur túlkuð fáist sömu niðurstöður.

Og hvort að mynstur þurfi að tákna reglu - það þarf alls ekki að vera.

Til dæmis er alveg sérstakt mynstur sem sést þegar tölva plottar random-graf.
Það er beinlínis hægt að sjá á grafinu að kerfið sé algjörlega tilviljunarkennt.

Mynstur þurfa því ekki að tákna reglu.

Tökum sem annað dæmi aðdráttarferil Lorenz. Hann sýnir ákveðna reglu, að
einhverju leyti, en það sem meira er um vert - hann sýnir óreiðu.

Ef við fyndum slíkan feril í náttúrunni værum við beinlínis að finna óreiðu,
óútreiknanleika.

Það er þó ekki langt síðan menn fóru að átta sig á því að þetta væri mögulegt,
þeas, óreiða af þessu tagi.

Og þar fyrir utan, það er betri lausn að mína mati að leita að einhverju mynstri
en að trúa því að heimurinn sé óreglukenndur. Ef við finnum mynstur, eru það
mynstur sem við getum skilið, hvort sem þau raunverulega fyrirfinnast eða ekki
(en ég tel þó að svo sé), getum við betur skilið það sem gerist í kringum okkur.

Og ef engin raunveruleg mynstur finnast, er þá ekki reglan bara í okkur sjálfum?
Og ef reglan er í okkur sjálfum, þá er að minnsta kosti eitthvað reglulegt í
veröldinni og þú þarft að svara spurningunni: Hvernig getur eitthvað reglulegt
eins og þú sjálfur orðið til í veröld sem er tilviljunarkennd?

Mér finnst svarið hallast að því að það sé amk einhver regla í náttúrunni.

Fyrra álit

midgardur fyrir 21 árum, 2 mánuðum

popcorn, rétt er að munstur felur í sér upplýsingar. spurningin er bara upplýsingar um hvað. Ef ég skil VeryMuch rétt þá felur munstrið í sér upplýsingar um lögmál rökkerfisins. Með því að elta þessa hugsun aðeins lengra má þá ekki segja að við séum að fá form rökkerfanna aftur í hausinn. Við búum til rökkerfi til að greina heiminn með, þau greina heiminn með ákveðnum hætti og við teljum okkur síðan í hug að þessi háttur sé form heimsins en ekki form rökkerfanna sem við notuðum til að greina heiminn með.

Það sem vísindin virðast vera að segja okkur að heimurinn lýtur út eins og hann gerir af því að tækjabúnaður okkar (líkamlega og vitræn) er eins og hún er. Ef stærð okkar væri á kvarða öreindaheimsins þá værum við í nokkuð kaótískum heimi. Við getum síðan spurt okkur hvernig heimurinn myndi líta út ef vitundarskynjun okkar næði yfir makróheiminn, þ.e. ef við værum einhvers konar risar eins og risinn Ýmir sem forfeður okkur trúðu að heimurinn hefði verið búin til úr.

Eftir situr þá spurningin hvort regla heimsins sé ekki bara í vitund okkrar sjálfra, logos, orðið, rökkerfið eða hvað við viljum kalla það. Eins og þú sérð þá enda ég í platónísku. Sjálfum finnst mér það vera skynsamlegasta heimsmyndin. Hins vegar get ég ekki skýrt þau ógnaröfl sem halda saman heiminum og birta mér hann eins og hann er.

M.

Fyrra álit

Popcorn fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Midgardur:

Ef þú álítur heiminn tilviljunarkenndan geturðu ekki svarað spurningunni:
“af hverju sérð ÞÚ mynstur?”.

Því ef þú ert fær um að sjá reglu hlýtur þessi regla að vera í þér. Og ef slík regla er möguleg hlýtur veröldin að vera regluleg, þ.e. veröld sem er fær um að
mynda reglu eins og lífverur, sbr. sjálfan þig (afsakið það að ég skuli
persónugera veröldina).

Þú ert ljóslifandi sönnun þess að regla ríki í heiminum!

Og ef heimurinn hagar ser reglulega hlýtur það hann er gerður úr að gera það
líka. Má vera að skammtafræðingar telji að litla stöffið hagi sér á
tilviljunarkenndan hátt, má vera að það sé rétt að vissu leyti. En reglan
hlýtur að vera til staðar.

Og þegar þú segir kaotískur verðuru að passa að rugla því ekki saman(eða
passa að ég rugli því ekki saman) determinískri óreiðu (chaos thery) og hreinni
og klárri tilviljun, því þetta er tvennt ólíkt.

En rökkerfið sem stuðst er við þarf ekki endilega að vera rétt - líklega er
ekkert sem heitir “rétt” rökkerfi. Kannski er sú staðreynd að rökkerfi eru
regluleg eina ástæða þess að þau hafa gagnast okkur við að skilja heiminn.

Fyrra álit

midgardur fyrir 21 árum, 2 mánuðum

popcorn:

Reglan sem ég sting upp á er logos. Logos var í upphafi og logos er í heiminum og logos er heimurinn. Heimsmynd mín er því ekkert frumlegri en þegar Grikkir settu hana fram og henni síðan troðið inn í kristnu guðsspjöllinn og gerð að heimsmynd kristninnar. Það sem er kannski merkilegast við þessa heimsmynd er að vísindunum hefur ekki tekist að hrekja hana, þrátt fyrir aldalanga og harðskeytta atlögu efnishyggjunnar.

Við notum kannski ný orð, nýjar sannanir, nýjar uppgötvanir osfrv. en við virðumst alltaf komast að sömu niðurstöðu: Logos!

M.

Fyrra álit

Popcorn fyrir 21 árum, 2 mánuðum

midgardur:

Þar verð ég víst að vera sammála þér. Ég hélt að þú værir að stinga upp á að
það væri ekkert svoleiðis, að það engin regla ríkti, við fyndum hana bara sjálf
út úr engu tilviljunarkenndum aheimi.

Og fannst ég vera ákaflega sniðugur þegar ég fann út að svo gæti ekki verið.

Mér finnst ég alla vega geta slegið því föstu að einhver reglusemi hljóti að
vera til staðar.

Eins og þú segir,

Logos!

Fyrra álit

midgardur fyrir 21 árum, 2 mánuðum

popcorn:

Ég er ekki tilbúin að sleppa okkur alveg svona auðveldlega. Langar til að elta aðeins lengur hugmynd VeryMuch um munstrin. Vil þó frekar kalla þau síur. Þessar síur eru logos sem sía óskapnaðinn sem streymir handahófskennd um heiminn í munstur.

Annars veit ég ekki hversu langt á að elta þessa metafýsik og hvaða gagn við höfum af henni. Þetta er ævagömul hugmynd um lausn á lífsgátunni og hún jafngagnleg fyrir okkur í amstri dagsins og 42 sem var launs lífsgátunnar í bókinni: Að húkka sér far um vetrarbrautirnar. Mun gagnlegra er að velta fyrir sér hvernig við getum lifað saman í sátt og samlyndi.

M.

Fyrra álit

Popcorn fyrir 21 árum, 2 mánuðum

midgardur:

Ég er ekkert að þykjast hafa leyst “lífsgátuna” ef
slík gáta er til (efast um það), aðeins hafa
fundið það út að eitthvert skipulag hljóti að
vera til staðar.

Hversu langt það nær hef ég ekki hugmynd, ég
er heldur ekki endilega sammála VeryMuch
um allt sem hann segir, ég er ekki heldur
búinn að mynda mér um allt saman.

Af hverju telurðu veröldina handahófskennda,
hún gæti verið það, en ekki gera ráð fyrir því!
Fyrst að þú ert fær um slíka reglusemi, er það
ekki fullgild sönnun fyrir amk einhverri reglu-
semi? Þú ert jú hluti af heiminum.

Næst skref væri auðvitað að finna út hvort einhver
rökkeri gætu náð þessari reglu, meikað eitthvert
sens úr henni, gert hana okkur skiljanlega.
Það er það sem mér finnst að rökkerfi ættu
að gera og ég býst við því, af póstinum þínum
að dæma að þar sért þú sammála mér.

Og ef reglan væri ekki til staðar, væri þá til
einhvers að vera að búa til slík kerfi?

Ég skil ekki hvað “að lifa saman í sátt og samlyndi”
hefur með þetta að gera. Það er bara allt önnur
spurning.

Það er bara allt annar handleggur.

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Miðgarður:

Varðandi það hvort kerfið sem er notað til athugunar á mynstri heimsins, móti þal mynstrið sem er athugað.

Þetta er etv eins og að horfa á e-ð í gegn um mismunandi gler, ef ég horfi á tré út í garði í gegn um flöskubotn, verður tréið sveigt og kúpt, og etv algrænt ef vildi svo til að flöskuglerið væri grænt.

Ég gæti svo horft á tréið frá sama stað, með stækkunargleri, sem gerði það etv að verkum, að það birtist mér á hvolfi, allt eftir því hve langt stækkunarglerið er frá augum mínum.

Svo gæti ég líka notað kíki, og þá virtist tréið nær mér en ella, eða ef ég snéri kíkinum við og horfði í hann öfugan, þá myndi tréið virðast mjög fjarri.

Við getum notað hvaða gler, eða kristal, eða mynstur, til að sjá mynstur heimsins. En hvernig við sæum hlutina, réðist ávallt af hlutnum sjálfum fyrst og fremst, við þekkjum eðli sjónglerja okkar, og getum prufað okkur áfram til að kynnast eðli hlutarins betur.

Setjum td sem svo að ég væri nærsýnn, og vildi sjá tréið betur, og setti upp viðeigandi nærsýnisgleraugu. Það er ekki verra að nota þessa líkingu.

En þetta eru bara líkingar til þess að skýra áhrif kerfanna sem notuð eru til athugana á mynstrum í heiminum, á það sem athugað er, nefnilega mynstrin í heiminum.

En málið er ekki alveg svona einfalt, ef við veltum fyrir okkur, hvernig við sjáum munstur yfirleitt. Þeas, hvers vegna heimurinn virðist okkur ekki, ein ólöguleg ósundurgreinanleg klessa eða einhverskonar “blob”, heldur sundurgreindur og afmarkaður og skiljanlegur; er gátan.

Ég lít svo á, að við séum gerð af mynstrum, sem geri okkur kleyft, að greina mynstur í umhverfi okkar, í gengum skynfæri okkar, í taugakerfi okkar. Nánar tiltekið er ég að tala um mynstur taugakerfis okkar. Þetta mynstur okkar, gæti virkað eins og lyklar, þe mörg lykil-mynstur, sem líkt og tölvur gera eða eins og í rökkerfum er gert, leiða til flóknari mynstra.

Ég álít ss alla þekkingu byggjast á þessum grunni. Þeas þegar við lærum, búum við til mynstur í taugakerfi okkar, sem hafa hliðstæður við það sem við höfum lært um heiminn, þe hliðstæður við mynstur sem eru utan við okkur.

Þetta er etv ekki svo ólíkt forritunarmálum, ef út í það er farið. Nema það að mynstrið er grunnur alls.

Þannig fylgir þessum pælingum mínum, að merkingu meigi geima í mynstrum. Td væri hægt að beygja langan vírbút, í teoríunni, og í mynstrinu sem vírnum væri gefið, þe með því að beygja hann, væri merkingin augljós.

Texti eins og hann “er”, þe stafirnir sem raðast á skjáinn hér, er mynstur, en yfirborðsmynstur fyrir merkinguna sem undir liggur.

Td “Ísland” hefur merkiguna, landið í Norður Atlantshafi, og í raun auk þess, öll möguleg þekking um Ísland, sem er svo snertiflötur á merkingu annara hluta, sem eiga e-ð skylt við Ísland.

Þannig vitna kerfi í hvert annað, án enda. En það samræmi sem þau mynda, tala nú ekki um það mynstur sem ég álít sé í höfði okkar, mynda það sem við getum þekkt.

Þannig getum við aðeins skilið það sem við getum táknað í okkar eigin höfði á formi mynsturs. En það getum við aðeins gert, með því að nálga það sem við erum að reyna að skilja við e-ð mynstur eða reglu.

Við getum vissulega séð heiminn eins og hann birtist okkur, án þess að tengja það sem við sjáum við e-ð kerfi, svo sem að horfa á absract listaverk, án þess að leggja neinn skilning í það. Prufaðu td að snúa bók á hvolf og reyna að rifja það upp hvernig það er að kunna ekki að lesa. Þannig sérðu textann eins og hann er sem hreint mynstur þe án merkingar, en svo þegar þú snýrð bókinni við, þá tengir þú textann við merkinguna, sem er mynstrið í höfði þínu. ;)

Jæja nóg í bili.

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

gthth fyrir 21 árum, 2 mánuðum

VeryMuch:

Er ekki svolítið erfitt að líta svo á að “sannleikur þurfi að vera sannaður, til að meiga kallast sannleikur”? Þú átt væntanlega við að setning (eða yrðing) þurfi að vera sönnuð til að mega teljast sönn, sem sagt að setning sé ekki sönn fyrr en hhún er sönnuð. Ég vona að ég hafi ekki misskilið þig :)

En þetta hlýtur að vera erfitt fyrir þig því nú hafa stærðfræðingar (Kurt Gödel) sannað að í öllum reiknifræðilegum kerfum sé mögulegt (jafnvel nauðsynlegt) að til sé a.m.k. ein sönn setning sem ekki er sannanleg innan kerfisins.

Er ekki nær að segja að sannleikur felist í því að setningin “P” sé sönn ef og aðeins ef P (innan einhvers kerfis, ef þú vilt hafa það þannig) en þó ekki þannig að það þurfi endilega að vera unnt að sanna P?

___________________________________

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Gthth:

Mig grunar að orðið “sannleikur” hafi orðið til og öðlast “merkingu” án þess að merkingin sé í raun til, þe sé raunveruleg.

Kannski svipað orðinu “ekkert”, eða “endalaust”.. eða “guð”. Hvað eru þessir hlutir?

Raunar er hugtakið “merking” loðið, þar sem merking “merkingar” veltur á þeim sem notar það. (Það er auðvitað fáránlegt að nota hugtakið “merking” í skilgreiningu eða krufningu á sjálfu því, sem undirstrikar ruglið.)

Mál í mínum huga, eitt og sér, ekkert með sannleika að gera. Mál er eins og teikning á blaði, þú verður sjálfur að þekkja myndina. En myndin hefur ekkert með hið sanna að gera.

Málspeki er á miklum villigötum að mínu mati, og sú villa orakast af e-i hugsunarvillu, eða misskilningi, af því sem ég fæ best séð. (Ekki meira um það hér.)

Ég legg til að við nálgumst það sannleika út frá því sem er ósatt. Þe við getum vitað hvað er ósatt, þegar yrðingar stangast á við e-n samanburð, þe við það sem þær vitna í.

Td. (1) Ef Gunni fór akandi í vinnuna í gær.

Er setningin: (2) Gunni fór gangandi í vinnuna í gær. Ekki sönn.

En þetta ræðst engöngu af því að við höfðum setningu (1) sem viðmið. Auk þess sem hún er mynduð í sama “kerfi” og setning (2) er í. Þeas í venjulegu máli og þeim reglum sem um það gilda, þó loðnar séu.

En ef við veltum fyrir okkur sannleika sem felst í setningu (1), þá þurfum við að velta fyrir okkur merkingu hennar. Td. hvað þýðir “að aka”? Þeas hvaða raunverulega athöfn skilgreinist jafngild við merkingu hugtaksins, og hve vítt er mengi merkingar hugtaksins, þeas hvenær hættir atburður að vera innan hugtaksins? Hvenær hættir e-r “að aka”? Þetta er líklega ekki gott dæmi um það sem ég er að benda á.

Ímyndum okkur setninguna (3) Gunni elskar Jónu.

Hvenær er þessi setning sönn? Hvar hefst eða endar ást, og td væntumþykja hefst?

Eða “að höggva” vis “að skera”, “að hluta”, “að klippa” og svo framveigis.

Hér er enginn sannleikur!

Setningar herma rétt eftir, að dómi hvers og eins, en það veltur á skilningi, ekki bara venjulegum skilningi, heldur málskilningi hvers og eins.

Setningar eru því frekar “rétt hermdar” fremur en sannar. En dómurinn er þó túlkanlegur, þe ekki einhlítur, hann er loðinn.

Það er engin gáta sem er falin í málinu sjálfu. Ekki umfram teikningu td.

Ef e-ð er, er meira á teikningu að græða. Hvenær verða hringur, tveir puntkar, og bogalína, að andliti?! Þetta er viðfang okkar. Þe galdurinn sem felst í málinu.

Galdurinn er ekki í málinu sjálfu, heldur í heila okkar. Því er spurningin: hvernig túlkum við merkingu tákna, þe merkingu mynstra?

[Mynstur í umhverfi]=>?=>[Skilningur]

[Ytri veruleiki[Mynstur í umhverfi]]=>[?=>[Skilningur] Innri veruleiki]

Vettvangur okkar er okkar “Innri Veruleiki”.

Mín kenning um millilið, er mynstur. Þar sem allt er þetta nú efni. ;)

En nú hef ég nú misst mig aldeilis langt út frá kjarnanum, þó að ég hafi vissulega skilgreint ákveðnar forsendur fyrir máli mínu, sem ég kann að vitna í.

Sannleikur í mínum huga er ss e-ð sem er satt í sjálfu sér. Það er einangrað í sínum sannanleika, þe sannleiki þess veltur ekki á sannleika e-s annars.

En mig grunar að hugtakið “sannleikur” standi á tóminu, sé ss hugsunarvilla, eins konar goðsögn, eins og guð.

Sannleikurinn er ss yfirskilvitlegur. Þal óþekkjanlegur. Það sem er vitað er þekkt, það sem er þekkt eða vitað er staðfest. Sannleikur hlýtur að þurfa að vera staðfestur, til þess að vera þekktur.

Sannleikur er aðeins staðfestanlegur í röklegum kerfum, en er um leið einangraður í þeim.

Líkt og við getum vitað að setning (2) er ósönn ef (1) er sönn, en samspil þessara setninga við raunveruleikann, snýst ekki um sannleika. Þar er frekar um túlkun að ræða, þal er sannleiki þess að setning (2) sé röng miðað við (1) byggður á forsendum málsins. (Og augljóslega þeim forsendum sem málið byggir á.)

Af þessu leiðir að hið sanna felst á því sem er rétt hermt. Sannleikur er því samræmi, mynstur sem er ekki skakkt. (Sem byggir á skilningi á hugtakinu mynstur, þe skakkt mynstur, er augljóslega gallað, skv þeim aðferðum sem við beitum til að greina hvað er mynstur eða ekki.)

Ég er ss að mótmæla notkun á orðinu “sannleikur” og “satt”. Þessi orð, merking þeirra, sprettur af yfirskilvitlegri goðsögn. Það er ss mótsögn að tala um e-ð sem satt, ef það er í raun aðeins “rétt samræmi” innan þess sviðs sem það er skilgreint í, og það svið skilgreiningar byggir á frumforsendu, sem er ósannanleg, þe óstaðfestanleg. Sannleikur er tómamengi í þessum skilningi.

Kannski er það besta sem ég get gert við vanga veltum þínum, að spyrja eftirfarandi spurningar: Hvernig getur sannleikur verið óþekktur? Hvernig getum við þekkt hið sanna ef það er óþekkjanlegt?

Við þurfum vissu, til að þekkja hið sanna. En vissan er ómöguleg. Vissan verður aðeins tilbúin, innan rökkerfa. Við notum þessi kerfi svo til að finna, mynstur í umhverfi okkar, sem við smíðum svo röklegar nálganir um.

Þekking okkar á heiminum byggist á því að byggja rökleg mynstur, sem eru nálganir, að þeim mynsturm sem við sjáum í heiminum.

Sannleikurinn byggir á hliðstæðunni, þe “=”, en það leiðir til vítarunu, endalausra hliðstæðna, tivitnana í tilvitnanir.

Á endanum rekumst við á vegg, sem ég kýs að kalla endimörk þekkingar, þe okkar eigin meðvitund og hugarstarfsemi. Þetta er nú allt voða gamalt, og Kantískt. ;)

Þal gildir uppgvötvun Gödels um þetta, það er augljóst.

Við þurfum alltaf að hafa e-ð “P” til að BÚA TIL sannleika. En það er auðvitað bygging, líkt og húsin sem við búum í. Samræmi og mynstur, sem samræmast lögmálum náttúrunar, til að halda formi sínu, þeas við notum lögmál náttúrunnar til að byggja brýr með því að hafa samræmi í formi, efni, og náttúrulögmálum, sem aftur samræmist markmiði brúa, og markmiðum okkar sem lífverum. Þetta er bara samræmi, mynstur.

Mannkyn vaknar til meðvitundar, með því vaknar tilgangurinn, okkar innri kerfi gera okkur kleyft að móta umhverfi okkar í samræmi við tilgang okkar, það byggir á mynstri (í víðasta skilningi auðvitað). Við drepum, við fjölgum okkur, við veiðum, við breytum umhverfi okkar, við byggjum borgir, við byggjum brýr, við byggjum stíflur, að skildar einingar manna berjast um auðlindir, auðlindir eru nýttar til að þjóna tilgangi sem vaknaði með meðvitund okkar. Þetta er allt eitt samræmi, eitt leiðir af öðru, og í miðli, eins og öldur í vatni. Við erum form í efni, við erum form í efni, sem er í lögmálum náttúrunar, allt þetta er mynstur.

Varðandi mynstur, er það sem er ekki mynstur, þal e-ð sem við getum kallað óreiða, eða ómynstur, í raun mynstur, á þann hátt að það er bakgrunnur hins þekkta mynstur. Þannig þjónar það hlutverki eins og mynstur, þe það er hluti af því. Líkt og efni fylgir hreyfingu, og formi. Ekki satt?

Kannski er það sem ég er að segja, í sinni einföldustu mynd, að sýn okkar á heiminn er allt of einföld. Heimurinn er margfalt margbrotnari, og við allt of fábrotin. ;)

Afsakaðu þessa endaleysu, en hvar á ég að byrja, hvar á ég að enda. Allt er tengt.

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

mElstEd fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Þetta er hin ágætasta grein en hins vegar er ekkert minnst á hvað sönnun er. Til þess að geta talað um sannanir og unnið með þær á formlegann hátt þarf að skilgreina hvað sönnun er í raun og veru.

Það er kannski soldið þurrt verkefni og ég læt vera að skilgreina yrðingar formlega (geri ráð fyrir að flestir viti hvað yrðingar eru), but here goes nothing.

Ef S er mengi af yrðingum og (y0, y1, …, yn) er runa af yrðingum þá segjum við að “S sanni yn” ef um sérhverja yrðingu yi í rununni (y0, …, yn) gildir 1: yi er stak í S eða 2: yi er sísönn (augljóst eða tautological) eða 2: yrðingin (yj => yi) er sönn og j

Fyrra álit

Popcorn fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Svo má bæta við “skásönnun” (diagonal proof) sem var fundin upp af Cantor
(það var nú meiri kallinn). Hann notaði hana meðal annar til að sýna að
mengi rauntalna er stærra en mengi heiltalna (sem er vesen, þar sem þau eru
bæði óendanleg):

Ef tvö mengi eru jafnstór er hægt að finna tölu úr hvoru fyrir sig og “para”
þær saman. Sem sagt: í öðru menginu er alltaf hægt að finna tölu sem svara til
tölu í hinu. Þetta gildir m.a. um mengi heilla talna og sléttra talna.

1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8
…
n → 2n

En til að finna út að mengi rauntalna er stærra en mengi heiltalna gerði hann
efirfarandi:

Gerum ráð fyrir að við hefðum allar rauntölur paraðar við eina heila tölu.

0. n11 n12 n13 n14 n15 … n1k
0. n21 n22 n23 n24 n25 … n2k
0. n31 . . n33 . . . . … n3k
0. . . . . . . n44 . . …
0. . . . . . . . . n55 …
0. . . . . . . . . . . … nkk

Hér höfum við sem sagt það sem ættu að vera allar mögulegar tölur, hvert nkk er
tölustafur í óendanlega langri rauntölu (ræðri rauntölutölu).

Þá skulum við búa til nýja tölu, 0.n11 n22 n33 n44 … nkk með eftirfarandi
hætti: Ef 0.n11 er 1 látum við n11 í nýju tölunni vera 9. Ef n11 er ekki 1
látum við hana vera einn. Sama gerum við við n22, n33, n44 (tölurnar hér eru
teknar á ská úr töflunni hér að ofan). Þá fáum við tölu sem hefur amk einn tölu
staf sem jafnglidir ekki samsvarandi tölustaf í öllum rauntölum sem við höfum
hinga til, svo, sama hversu vel við vöndum okkur við að para saman rauntölur og
heilar, það verða alltaf einhverjar afgangs.

Fyrra álit

Popcorn fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Úh, ég gleymdi því næsum því:

http://www.htmlhelp.com/reference/html40/entiti es/symbols.html

:-)

Fyrra álit

[Notanda eytt] fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Jæja, kannski maður skelli sér örlítið í þessa umræðu…þrátt fyrir litla von um að nokkuð komi út úr þeirri þátttöku.

Því sem Miðgarður leggur fram er ég sammála, og sé ekki reyndar hvort eða hvernig hægt er að vera ósammála (reyndar vill ég taka það sérstaklega fram að ég er almennt ósammála miðgarði, sérstaklega varðandi stjórnmálaskoðanir): Röklegar sannanir verða alltaf að byggja á forsendu sem er ósönnuð (eða í besta falli mjög líkleg, og þá líkleg í krafti aðleiðslu, eins og ,,allir menn eru dauðlegir").

En það var ekki það sem ég vildi læða að mönnum hér. Málið er að rökfræði gengur illa af því lýsingar tungumálsins eru ekki fullkomnar, eða ef því er að skipta: nálægt því að vera fullkomnar. Lýsingar stærðfræðinnar, eins og í lýsingum á kristöllum, eru fullkomnar, eða í það minnsta mjög nálægt því að vera fullkomnar. 2=1+1 er fullkomin lýsing (innan ákveðinna marka, sem þó eru mun þekktari og afmarkandi en þau mörk sem setja má um lýsingar með tungumálinu).

Bíllinn minn fyrir árekstur=bíllinn minn eftir árekstur og viðgerð - er ekki fullkomin lýsing, en samt myndu allir tala um SAMA bílinn, það er nota fullkomna lýsingu um ófullkomna lýsingu.

Kannski er ég ekki að nota rétt hugtök yfir hvað þetta heitir, það er fullkomnar og ófullkomnar lýsingar, en vonandi skilst þessi hugmynd mín (sem vafalaust er fenginn einhvers staðar, hvaðan man ég ekki).

Annað dæmi um þetta: Við skilgreinum bílinn minn á þann veg að hann megi breytast um 10% án þess að við tölum um að annar bíll sé á ferðinni. Sem sagt a=a10% og það er nákvæmlega sami bíllinn, þá getum við sagt að a10%=a20% en þá erum við komin með a=a20% sem er óásættanlegt þar sem það mátti einungis víkja frá a um 10% til þess að hægt væri að tala um SAMA bílinn.

Í þessu dæmi, eins og svo mörgum öðrum erum við að nota ófullkomnar lýsingar sem fullkomnar.

Það sem VeryMuch er að leggja til, að mér sýnist, er að við finnum upp eða notum lýsingar sem eru betri (nær því að vera fullkomnar) en þær sem við höfum nú. Því miður sé ég ýmsa vankanta á því, til dæmis að lífið yrði ansi þurrt ef við ætluðum að lýsa öllu með ótrúlega nákvæmum lýsingum. Í tungumálinu þurfum við ekki nákvæmar lýsingar, sérstaklega ekki hversdagslega. Í vísindum hins vegar koma þær að góðum notum, enda reyna allir vísindamenn að nota eins fullkomnar (lokaðar) skilgreiningar/hugtök og þeim er unnt (jafnvel í félagsvísindum, þó svo þar gangi oft brösulega).

Vandinn er hins vegar sá að tungumálið er ekki uppbyggt af fullkomnum lýsingum, þvert á móti eru þær ófullkomnar. Það er ófullkomnar í þeim skilningi að það byggir að mestu á aðleiðslu en ekki afleiðslu.

Ahh, Liverpool að byrja í imbanum, kemst ekki lengra.

Amor Fati

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Kma:

“Það sem VeryMuch er að leggja til, að mér sýnist, er að við finnum upp eða notum lýsingar sem eru betri (nær því að vera fullkomnar) en þær sem við höfum nú. Því miður sé ég ýmsa vankanta á því, til dæmis að lífið yrði ansi þurrt ef við ætluðum að lýsa öllu með ótrúlega nákvæmum lýsingum. Í tungumálinu þurfum við ekki nákvæmar lýsingar, sérstaklega ekki hversdagslega. Í vísindum hins vegar koma þær að góðum notum, enda reyna allir vísindamenn að nota eins fullkomnar (lokaðar) skilgreiningar/hugtök og þeim er unnt (jafnvel í félagsvísindum, þó svo þar gangi oft brösulega).

Vandinn er hins vegar sá að tungumálið er ekki uppbyggt af fullkomnum lýsingum, þvert á móti eru þær ófullkomnar. Það er ófullkomnar í þeim skilningi að það byggir að mestu á aðleiðslu en ekki afleiðslu.”

Svar:
Ég var ekki að meina að við ættum að fara að tala e-ð ofurnákvæmt tungumál. ;)

Það sem ég var ölluheldur að benda á, er möguleiki rökkerfa til að þjóna okkur sem viðmið, til þess að greina mynstur heimsins, þe reglur, fasta í heiminum.

En ég er þó á þeirri skoðun að tungumálið sé drasl sem við neyðumst til að nota. :)

Ég var að líkja rökfræðinni við einskonar “rúður” eins og eru á rúðustrikuðum blöðum, þe viðmið.

Ég er ekkert sérlega hrifinn af því sem við erum að læra í Inngangi af frumspeki, hjá honum Lassa. (Þeas ef ég er ekki að flaska á því hver þú ert. ;) )

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

[Notanda eytt] fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Jæja very, þú ert aldeilis góður í því að nota svona rúður, bara búinn að fatta hver ég er og allt :)

Ég á enn erfitt með að skilja hver afstaða þín er. Þú vilt ekki röktungumál, heldur bara nota það til að greina einhver lögmál, fasta, mynstur og annað skylt. En samt finnst þér tungumálið vera drasl.

Við notum röktungumál til að lýsa hinu og þessu, það kallast vísindi. En við notum líka aðleiðslu-aðferðir í vísindum…sem eru ekki SANNANIR.

Ég tel að það verði erfitt að finna sannanir um mannskepnuna, þó ekki nema bara vegna þess að við notum tungumálið sem er ekki röktungumál. Þar að auki er það ágæt spurning hvort það sé eftirsóknarvert að binda mannsandann niður í fullkomnar, eða því sem næst, lýsingar.

Já frumspeki er ofaukið fag. Menn eru að gera þetta alltof flókið og leita á vitlausum stöðum, byrja á vitlausum stöðum og tapa sér í hugarflugi á skrifstofum.

Ég er ennþá ósammála því að tungumálið sé drasl :)

Amor Fati.

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Kma:

Tungumálið er ágætt sem tungumál, en ómögulegt sem nákvæmur miðill fyrir merkingu. Þeas tungumálið á það til að brengla hana. Tungumálið á það líka til að vera villandi, og að rekast á eigin horn.

Þess vegna kallaði ég það drasl. ;)

Ég lít svo á merkingu, að hún sé eðlisólík tungumálinu, og þegar merkingin er sett í þennan miðil, tungumálið, á merking það til að afmyndast, og mótast af miðlinum.

Merking í mínum huga er, Já! þú giskaðir rétt, mynstur.

Merking er fyrir mér hliðstæð við spor í sandi, td eftir e-a bráð, sem veiðimaður er að elta.

Veiðimaðurinn hefur meðfædda hæfileika til að þekkja umhverfi sitt og draga úr því þekkingu.

Veiðimaðurinn sér samræmi á milli slóðar bráðar sinnar, og þess sem hann hefur áður séð dýrið gera, með beinni athugun.

Þegar veiðimaðurinn sér sporin, sér hann dýrið fyrir sér, hvernig það stígur, hvernig það hreyfir sig, hve þugnt það er, hve langt er um liðið að sporin urðu til, hvort dýrið er sært, osfrv.

Nú þegar við lesum þennan texta á skjánum, er um við að elta merkinguna, líkt og veiðimaður forðum og nú, eltir bráð sýna.

Textinn er mynstur, líkt og spor í sandi, hér er um hliðstæður að ræða.

Sandur og skjár, eru efni sem geyma mynstur, og mynstrið skiptir um miðil að svo miklu leiti sem við þekkjum hliðstæður þess, þeas mynstrið mótar mynstur í heila okkar. Það mótar skilning og/eða eða reynslu.

Auðvitað er munur á texta og sporum í sandi, þó eru þessir hlutir hliðstæðir.

Það er hreint ótrúlegt til þess að hugsa, að við sendum geimfar til tunglsins, með mynstrum úr “0” og eða “1”, sem var væntanega mótað eða geymt með segulrákum. Og eða sent með útvarpsbylgjum.

Þetta er ótrúlegt! En svona er þetta, og ef sandur væri hentugur, væri hægt að senda geimfar til tunglsins, með sporum í sandi. ;)

Það sem ég er að segja. Tungumál er ófullkominn, og eða gallaður miðill, fyrir merkingu.

Það væri óskandi að finna miðil sem miðlar merkingu minna breinglaðri.

Það er allt og sumt.

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

Popcorn fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Ég óttast að mönnum hætti til að setja stærfræðina á of háan stall.

Þegar stærðfræðingur sannar setningu hættir honum til að finnast hann vera að
finna einhver “ódauðleg” sannindi um “eðli alheimsins”, þegar hann er bara að
rekast á einhverjar afleiðingar reglna í kerfinu sem hann er að vinna með.

Eða þá að menn blása upp “vandamálinu með frumsendurnar”, stærðfræði sé alveg
út í hött vegna þess að hún sé byggð á frumsendum sem eru ekki sannanlegar og
því út í hött, sem og allt sem er leitt af þeim.

Og í framhaldi tapar fólk sér í djúpum pælingum, samlíkingum sem taka öllu
fram í fáránleika og hugmyndum sem eiga engar sína líka, ám þess þó að átta sig
á því hversu einfalt svarið er.

Stærðfræði er leið til að leysa þrautir.

Það hafa allir glímt við þrautir af einhverju tagi, þær hafa einhverjar reglur,
og með reglunum skal leysa þær. Stærðfræði er kerfisbundin leið til að gera
þetta, sbr:

Hversu stóru borði kem ég fyrir inni í þessu herbergi, ef það er kringlótt?
svar: radíus borðs í örðu margfaldaður með pi, táknað r^2*π

Hversu löng verður hliðin á þessum þríhyrning ef hann er rétthyrndur?
svar √(a^2+b^2), a og b eru hliðarnar.

Svo söfnun við saman lausnum af slíkum þrautum, sem búið er að leya í eitt
skipti fyrir öll með sönnun, við getum síðan notað þær til að leysa aðrar slíkar
þrautir.

Hvernig á ég að snúa þessu rubix-kubbi svo að allar hliðar hans séu einlitar?
(mér hefur reyndar aldrei tekist það, enda á ég ekki svoleiðis :-) )

Ekki halda að það sem raunverulegir stærðfræðingar eru að gera sé eitthvað
annað en að glíma við slíkar þrautir, hvað er tildæmis spurningin:

er talan x prímtala?

Annað en einföld þraut, sem erfitt er að leysa?

Mér finnst stundum eins og fólk taki þetta of alvarlega.

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Popcorn:

Jú jú, það má vel líta svo á málið.

Ég er sjálfur enn ekki alveg viss hvað stærðfræði er. Þeas ég er ekki viss um hvað ég álít stærðfræði vera, og með hvaða rökum. Þannig að ég get ekki kommentað neitt frekar á það. :)
Kannski síðar.

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Afsakið allar villurnar sem fylgdu svörum mínum. Þetta vill gerast þegar maður skrifar þetta í belg og biðu. :)

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

[Notanda eytt] fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Það er ekki hægt að sanna neitt ;) það er sönnun ;)… niiii en samt Ekkert er hægt að sanna 100%.. ég meina kannski er ég ekkert í tölvunni núna.. ég er bara að ýminda mér það.

Fyrra álit

br75 fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Jahá,
las greinina yfir en satt best að segja nennti ég ekki að fylgja dæmunum eftir, var hrifnari af niðurstöðunum:). Ég vona að ég móðgi engan með því að segja það að mér leið hálf partinn eins og ég væri kominn í stærðfræðitíma í gaggó. Ég er meira fyrir einfalda hluti eins og spurningar um það hvers vegna 2+2 séu 4 en ekki 5. Ástæða einfeldni minnar er sú að allar þær ályktanir sem þú komst að með flóknum og sannfærandi hætti, að ég held, eru grundvallaðar á þessari einföldu ofangreindu spurningar sem mér er annt um. Veistu svarið við henni?

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 21 árum, 2 mánuðum

Br75:

Stærðfræði í gaggó var nú miklu leiðinlegri en þetta, en skoðun þín móðgar mig íþm ekki. ;)

Hvers vegna er 2+2=4 en ekki 5?

Er ekkert vitlaus pæling.

Mitt álit, þó ekki vissa, er það að þetta sé spurning um skilgreiningar. Við köllum himininn bláan og grasið grænt, þegar við tölum um liti. Hvernig er það mögulegt? Það er nú það.

Hugtakið um tölur, byggir að mínu viti á þeim eiginleika okkar að geta greint hluti frá öðrum hlutum, þe afmarkað heiminn. Kallað e-ð stakt í heimi sem er í raun einn, og samhangandi. Það er mjög búddískt eða hindískt að tala um heiminn sem einan og stakan (held ég). Það sjónarhorn tel ég djúpviturt og satt, en þó er það ekki sérlega upplýsandi frá hversdagslegra sjónarhorni. En fyrir jóga í háfjöllum Indlands er þetta sjónarhorn fínt, og þar er ég sammála.

Heimurinn er ss einn og samhangandi, skv minni bestu vitund, en við sem verur í hans hversdagslegu hræringum, getum ekki lifað af í heild hans, án þess að afmarka hluti og segja þettan hlut vera stakan og afmarkaðan frá hinum. Td þetta er stóll, og hann er afmarkaður frá öðrum hlutum, hann er stakur.

Svo í framhaldi af þessari afmörkun á heiminum og þegar “stólunum fjölgar” förum við að velta fyrir okkur fjölda hinna stöku hluta. Þetta gerist væntanlega ekki á neinum einum afmörkuðum tímapunkti, heldur rís líklega mun frekar smátt og smátt upp í huga okkar sem tegundar, með auknu “birtustigi”.

Við förum svo að tákna fjölda hinna afmörkuðu hluta með hugtökum, á borð við “einn”, “tveir”, “fleiri”, “margir”, “fáir”, osfrv.

Setjum upp dæmi af féhirði sem á td 10 kindur, og vill smala þeim öllum í rétt, svo enga vanti. Setjum líka sem svo, að hann kunni ekki orðin fyrir fjölda. En þar sem hann er nú úrræðagóður og vel að guði gerr, leysir hann málið með því að afmarka svæði á jörðinni, sem hann hugsar sem líkan af réttinni sinni.

Hann velur svo kindur sem honum finnst svipa til sinna ástkæru kinda, sem hann þekkir að sjálfsögðu náið. Fyrir hvert gælunafn kinda sinna, velur hann eina steinvölu. Sem hann safnar í litla hrúgu fyrir utan táknaða rétt sína á jörðinni.

Etv ímyndar hann sér að ákveðin steinvala tákni ákveðna kind, td að óregluleg steinvala tákni Hnuplu sem er alltaf svo ritjuleg og úfin, önnur steinvala er etv smá og fínleg og táknar Snepplu sem er smágerð mjög og nett. Féhirðirinum er etv eiginlegt að líta mjög svo persónulega á kindur sínar, og því einnig eðlilegt að tákna þær á þann veg með steinvölunum.

Hann fær svo syni sína til að etla rollurnar uppi og smala inn í réttina, á meðan hann gengur úr skugga um heilbrigði þeirra og almennt ástand, auk þess að halda tölu um þær kindur sem hafa skilað sér.

Þannig setur hann þá steinvölu sem á við viðkomandi kind, inn í táknaða réttina á jörðinni, og tínir þannig smámn saman steinanna sem tákna kindurnar inná svæðið sem táknar réttina.

Árin líða og féhirðir þessi beitir þessari aðferð með ríkum árangri. Steinvölurnar mást og rúnnast, og líkjast hver annari æ meir. En þar sem féhirðirinn hefur áttað sig á því að það gildir í raun einu hvaða steinn er látin tákna hvaða kind, veldur það honum engu hugarangri. Hann er raunar fyrir nokkrum árum hættur að láta ákveðnar steinvölur tákna ákveðnar kindur, heldur notar hvaða steinvölu sem er til að tákna hvaða kind sem er. Þar sem hann sér hvað margar kindur eru eftir á fjalli, með því að bera saman raðir steinvalana fyrir utan táknaða réttina, og raðir þær sem eru fyrir innan táknuðu réttina.

Synir féhirðisins taka svo þessa aðferð upp eftir föður sínum, og bæta steinum í safn sitt, eftir því sem kindum fjölgar í safni þeirra.

Í einn sonur upprunalega féhirðisins, er nokkuð sérvitur í háttum. Hann hefur skoðun á því hvernig allir hlutir eigi fram að ganga. Sumt með réttu, og sumt ekki með svo réttu. En hann í sérvisku sinni hefur komið sér upp aðferð til að raða steinvölum sínum á jörðina. Tveimur raðar hann hlið við hlið, og þremur raðar hann í þríhyrning, fjórum í ferning, og þá fimmtu setur hann í miðju ferningsins, og svona raðar hann öllum steinvölum sínum, og býr þannig til hópa af fimm steinvölum, hlið við hlið.

Þetta fyrirkomulag reyndist sérlega lukkulegt, þar sem fyrir hverskyns sérviskur og einstrengingshátt, gekk þessi sonur féhirðsins nærri sér við að afla sér fleiri kinda, og að stuðla að góðri afkomu þeirra. Hann auðgaðist því þónokkuð á sérviskulegri nálgun sinni við raunveruleikann, en missti þó vitið á endanum og arkaði frá öllu saman. En áður en svo var komið, hafði hann haft tækifæri til að hrósa sjálfum sér fyrir þessa dinti sína með steinana, þar sem kindurnar urðu á annað hundraðið og ekkert einfalt mál að halda utan um fjölda þeirra. Þá hafð þessi sérvitringur nefnilega notað hrúgur af fimm steinum og raða þeim á sama hátt eins og um steinvölur væri að ræða. Þannig mynduðu 25 steinvölur fimm hópa af fimm steinvölum, sem var raðað eins og um fimm steinvölur væri að ræða. Þannig gat hann séð á augabragði hve margar kindur voru á fjalli eða í rétt. En því miður hafði hann ekki taugar fyrir velgegni sína og missti vitið eins og áður sagði.

Elsti sonur þessa sérvitrings þurfti svo við fráhvarf föður síns að taka við rekstri kinda föður síns, og að hugsa um gigtveika móður sína.

Hann hafði fylgst með aðförum föður síns, og lært mikið af honum, þó hann væri blessunarlega laus við bölvaða sérviskuna. En hún hafð að sögn móður hans hvílt á ættinni eins og bölvun í marga ættliði, og kunni hún af henni margar sögur; sumar jafnvel bráð fyndnar.

Sonur sérvitra mannsins var skynugur dreingur, og viðhélt auði föður síns af miklum myndugleik, en jók lítið við hann. Hann lifði lífi sínu í fábreittri hógværð og stillingu, en afrekaði þó að endurbæta aðferð föður síns við að telja kindur.

Hann fór nefnilega í samræðum heima fyrir og við aðra féhirða, að tala um hrúgur af fimm steinvölum, með orðum. Aðrir féhirðar höfðu verið fljótir að læra tækni sérvitra föðursins, og vissu þannig við hvað sonurinn átti. Þar sem hann útskýrði í fleiri orðum við hvað hann átti með í hugtakasköpun sinni. Hann kallaði hópa af fimm steinvölum “hús” og 25 steinvölur “hús húsa”. Fljótlega upp úr þessum orðaleikjum féhirðanna myndaðist orðaforði, ein steinvala var kölluð “kind” og önnur orð fundin upp fyrir hvern stein upp að fimm. Þannig gátu féhirðarnir talað um fjölda kinda sinna, og þal fjölda yfirleitt.

En þess ber að geta að í geta að á máli þessara féhirða, einhverstaðar í henni Mesópótamíu, er kind einmitt kölluð “ona” og þaðan er orðið “one” komið og “einn” svo af því. Hús er svo allað “hive” og þróaðist það í það orð sem við notum yfir töluna fimm í dag.

Með þessari ævafornu aðferð er aðvelt að sjá hvernig “2+2=4” en ekki “5”.

Þar sem 2 steinar eru í réttinni, og tvær kindur koma af fjalli, eru 2 steinar settir til viðbótar í hina táknuðu rétt. En með 4 steinum er ekki hægt að mynda munstrið sem táknaði 5, eða “hús” þe ferhyrning með fimmta steininum inní. Það var nefnilega aðeins hægt að mynda ferhyrning með fjórum steinum. Þannig visu menn þá, og enn þann dag í dag að 2+2 geta aðeins verið jafnt og 4. Þeas tveir steinar og tveir steinar geta aðeins verið fjórir steinar, þar sem þeir mynda ekki “hús” ;)

Nú veit ég svo sem ekkineitt sérstakt, og ekki veit ég hvort að þetta sé svarið við spurningu þinni. En þetta er bara tillaga í dæmisögustíl, sem mér þykir allt eins líkleg. Hún er einfeldingsleg í nálgun sinni, enda um einfaldan hlut. En hið einfalda getur orðið flókið, sérstaklega ef það er flækt, en hér hef ég reynt að halda mig við einfaldleikan, eins og einfeldningi ber. Kennarar í gaggó kunna sko ekki að segja svona sögur. ;)

Kv.
VeryMuch

Ps: Orð mín um orðsifjar á ekki að taka bókstaflega.

Fyrra álit

br75 fyrir 20 árum, 10 mánuðum

Sælir,
þér er þá ljóst að hið einfalda er þá hið “erfiða” og hið flókna hið “auðvelda”! Það sem átt er við með hinu “einfalda” er vitaskuld, forsendan, en hinu “flókna”, ályktunin. Ástæðan er einföld, því svo lengi sem forsendan er óþekkt þá er ályktunin dæmd til hins sama. Flóknar stærðfræðiæfingar verða því ætíð einungis tæki en því miður ekkert svar, eða hvað? kv.

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 20 árum, 10 mánuðum

Br75:

Ég verð því miður að biðja þig að eyða fleiri orðum í að útskýra afstöðu þína, og við hvað nákvæmlega afstaða þín er miðuð.

Þetta er ekki eins ferskt í minni mínu og það var.

Mig grunar að þú skiljir það sem ég sagði upphaflega ekki nægilega vel, etv vegna þess að ég útskýrði það ekki nægilega hreinlega.

En ég er ekki með á hreinu hvað þú ert kommenta á og hvað þú ert því að segja.

Afsakaðu þetta, en ég bið þig auðmjúklega að útskýra mál þitt með fleiri orðum, svo ég þurfi ekki að efast um skilning minn á því sem þú ert að segja.

Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

VeryMuch fyrir 19 árum, 9 mánuðum

Ég var að skoða svarið þitt og sé nú hvað þú ert að fara.

Já, vissulega eru frumforsendurnar kjölfestan. Sagan mín var ætluð til þess að draga fram náttúrleika stærðfræðinnar. Hún er af þessum heimi, en ekki bara hugarframleiðsla. Rökfræði er eins að þessu leiti.

Hvaðan koma sögurnar úr höfði þínu? Láttu hugan reika. Finndu fallega sögu, kannski er hún bútur af einhverju sem þú hefur þegar heyrt eða eitthvað annað.

Hvaðan kemur stærðfræðin? Frá skynfærum okkar kemur skynjun okkar, og í gegnum kvarnir heila okkar fara þær, og einhverstaðar þarna á leiðinni, fyrir þetta samspil, verður til skilningur á heiminum. Þarna býr stærðfræðin. Hún eins og skynjunin og heili okkar, er til vegna þess að hún getur verið til, allt er þetta eins náttúrulegt og blómin, ef við kryfjum málið.

Þegar þú sérð glugga, getur þú væntanlega sagt hvort hann er ferhyrndur eða kringlóttur. Hvernig? Þegar þú sérð tvær kindur í gær, og þrjár í dag, þá getur þú svarað spurningunni “Hvað hefur þú séð margar kindur í gær og í dag? með svarinu ”fimm". Hvernig?

Tja, hvernig getum við skilið nokkurn hlut. Hvernig getum við séð liti? Hvernig getum við elskað? Hvernig getum við hlegið? Hvernig getum við lesið og skilið það sem stendur þarna á blaðinu og jafnvel fundið til með þeim sem það skrifaði upphaflega?? Já, heimurinn er undarlegur. Undrunin er orsök þekkingarleitar okkar. Undrunin er þal líka orsök þeirrar þekkingar sem við höfum þegar aflað. En stærðfræðin er náttúrleg eins smekkur þinn og skilningur á litum, til að nefna dæmi.

Látum þetta gott heita í bili.
Kv.
VeryMuch

Fyrra álit

mm3d fyrir 15 árum, 8 mánuðum

Einmitt það sem ég var að leita að, þrepasönnun á mann-læsu máli…

hello hugi!

Fyrra álit

Heimspeki

Heimspeki

Ofurhugar

Stjórnendur

Hverjir eru inni

Greinar

Um Sönnun.

Dýr

Dægurmál

Fræði

Leikir

Lífið

Lífsstíll

Margmiðlun

Menning

Skjár

Sport

Tónlist

Tækni

Vélar

Hugi